FIM -数学研究所

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演讲(标题和摘要)

主要内容

Luigi Ambrosio:半群和几何测度理论
我将用几个例子说明半群工具如何在几何测度理论和实分析中的经典结果的扩展证明中发挥关键作用。幻灯片(PDF, 276kb)

Lia Bronsard:背景电位下液滴模型中的液滴破裂
我们考虑伽莫夫液滴模型的一种变体，这是一个非局部等周问题，它将平衡周长最小化设置为局部势和非局部势的相互作用。首先，我们证明了对于所有给定的质量约束值，远程吸引背景势稳定了最小化问题。然后考虑与背景势耦合消失时的极限，恢复伽莫夫的原始模型。在这个极限中，对于较大的质量值，极小值的紧致性丧失了，我们得到了液滴分裂模式作为二阶能量的极小值，由原始能量泛函的急剧渐近展开获得。在研究这个分裂极限的过程中，我们用“广义最小化子”来描述伽莫夫模型的所有最小化序列。这是与S. Alama, R. Choksi和I. Topaloglu的合作成果。幻灯片(PDF, 385 KB)

Xavier Cabré:非局部极小图的梯度估计
我们将讨论s最小曲面，即Rn中非局部平均曲率为零的超曲面。这些方程与分数阶s周长的临界点有关。我们将展示最近与M. Cozzi合作的结果，其中我们在任何维度上建立了非局部极小图的梯度估计。这导致了它们的平滑性，这个结果只在n=2和3时已知(但没有定量界限);在更高的维度中，只有它们的连续性得以确立。我们还将介绍E. Cinti和J. Serra的一个工作，证明了在R3中，当s足够接近1时，半空间是唯一稳定的s-最小锥。幻灯片(PDF, 36.2 MB)

路易斯·卡法雷利:变形介质中的非局部方程
幻灯片(PDF, 6.8 MB)

Camillo De Lellis:等距嵌入的关键霍尔德指数
纳什的一个著名定理，后来由柯伊伯改进，表明黎曼流形的C1等距嵌入即使在非常低的余维中也可以相当灵活，微分几何中的经典计算表明C1等距嵌入必须服从更多的约束。在与Laszlo Szekelyhidi Jr.的一系列合作工作中，我们发现了一个与Onsager在湍流理论中长期存在的猜想的类比，这个猜想最近由Isett根据这种直觉解决了。在这次演讲中，我将介绍与Dominik Inauen的合作，在那里我们展示了Onsager猜想的等距嵌入问题的第一个模拟。幻灯片(PDF, 212kb)

曼努埃尔·德尔·皮诺:欧拉流中涡旋动力学的粘合方法
我们考虑了限制在光滑区域内的不可压缩流体的二维欧拉流动。我们构造光滑解
concentrated vorticities around points which evolve according to the Hamiltonian system for the Kirkhoff-Routh energy, using an outer
内溶液胶合方法。每个点周围的渐近奇异剖面类似于刘维尔方程的有限质量标度解。幻灯片(PDF, 779kb)

阿尔贝托·恩西索:欧拉和纳维-斯托克斯方程下一些几何结构的演化
在这次演讲中，我们将对欧拉和纳维-斯托克斯方程下由流体涡度定义的几种几何结构的演化感兴趣。首先，我们将看到复杂拓扑的涡线和涡管是如何在三维纳维-斯托克斯方程中被创建和破坏的。接下来，我们将考虑在自由边界欧拉方程中出现令人惊讶的几何非光滑界面，以及这些奇点在水滴形成中的作用。本次演讲基于与D. Cordoba、C. Fefferman、N. Grubic、R. Luca和D. Peralta-Salas的合作。幻灯片(PDF, 6.8 MB)

Maria J. Esteban:二维和三维的磁插值不等式
在这次演讲中，我将介绍关于插值不等式的各种结果，最佳常数和关于Schrödinger磁算子在维度2和3中的极值函数的信息。我们将详细讨论常数磁场和阿哈罗诺夫-玻姆磁场的特殊的、物理上有趣的情况。
这些作品是与J. Dolbeault, A. Laptev和M. Loss合作完成的。幻灯片(PDF, 449 KB)

大卫·杰里:两个超平面猜想
我将介绍一个猜想，我称之为二超平面猜想，即将凸体按体积分成两半的等周曲面被困在平行超平面之间。伊曼纽尔·米尔曼已经证明，在其最强大的、与维度无关的形式下，
我的猜想意味着超平面猜想坎南，爱一个sz和Simonovits在理论计算机科学中的理论，它说这样一个等周曲面的面积与某个超平面的面积相当，通过一个与维度和凸体无关的绝对常数，将凸体分为两半。他们的猜想与高维凸几何中其他几个著名的未解问题密切相关。但与超平面猜想不同的是，双超平面猜想即使在低维也有意义。
我将把猜想与定性和定量的连通性性质和面积最小化曲面的规律性，自由边界和本征函数的水平集联系起来，并报告与Guy David正在进行的工作。讲座的主题是，标量变分问题的最小能量解的水平集应该尽可能简单，但不能更简单。

Rowan Killip: KdV下白噪声的方差
我将概述一个证明，在线上的KdV流保留白噪声措施。这里的潜在问题是为这样的初始数据构造动态，这些数据具有非常低的规律性，并且在无穷远处没有衰减。我还将讨论圆上白噪声在KdV下不变性的一个新证明，这是先前由Oh, Quastel和Valko所证明的。这是与杰森·墨菲和莫妮卡·维森合作的作品。

Inwon金:带强迫的平均曲率流的头尾速度
我们研究了按运动定律运动的界面的大时间行为
V =−k + g(x)，其中g是正的，李普希茨周期的。事实证明，界面的行为可以用它的头尾速度来描述，它的头尾速度持续地依赖于它的整体传播方向。如果在给定方向上头部速度等于尾部速度ν，则界面在该方向上具有唯一的大尺度速度。通常情况下，界面在等式失效的方向上呈线性增长的“长手指”。我们在一般环境和层流环境中讨论了这些结果，在层流环境中，由于流动的规律性性质，我们得到了进一步的结果。幻灯片(PDF, 188kb)

林Fanghua:拉普拉斯特征值的极值问题
幻灯片(PDF, 279kb)

Svitlana Mayboroda:低维集合的调和测度
近年来，在理解集的尺度不变解析性质、几何性质和偏微分方程性质之间的等价性方面取得了重大突破。特别地，证明了调和Riesz变换的有界性等价于一致可整流性，从而进一步给出了调和测度相对于边界上的Hausdorff测度绝对连续的充分必要条件。不幸的是，调和测度的概念和更一般的调和函数本质上局限于共维边界为1的域。在这次演讲中，我们介绍了一个新的“调和”测度的概念，它与服务于低维集的简并线性偏微分方程相关，并讨论了它的基本性质、主要挑战和神秘的新特征。底层的分析可以扩展，以创建一个新的版本的分数拉普拉斯在Ahlfors正则集。幻灯片(PDF, 1.6 MB)

约翰•Mourrat:动力学福克-普朗克方程的能量方法
动力学的福克-普朗克方程是与粒子在速度上受到白噪声强迫的动力学相关的偏微分方程。
我演讲的目标是利用类似于椭圆方程的经典能量方法的思想，将一些结果，如井态性，规律性和指数衰减，在长时间内达到平衡。

表面上拉普拉斯谱的等周不等式
我们讨论了曲面上Laplace-Beltrami算子高特征值的等周不等式。幻灯片(PDF, 222kb)

Felix Otto:平均曲率流的阈值方案和De Giorgi最小化运动的想法
我们考虑阈值方案，一个实际相关的时间离散的平均曲率流(MCF)由Bence-Merriman-Osher;并证明了多相情况下的(条件)收敛性。

证明是基于阈值分割方案作为最小运动方案的解释，这意味着阈值分割方案保留了(多相)平均曲率流的结构作为梯度流w.\ r.\ t.\总界面能(与Selim Esedoglu共同工作)。

我们使用De Giorgi的思想来证明极限满足Brakke不等式，这是一种将MCF编码为梯度流的方法。事实上，他关于度规斜率和变分插值的抽象概念，如Ambrosio-Gigli-Savare所阐述的，是泰勒为这个极限所做的。
这是我和蒂姆·劳克斯的合作成果。幻灯片(PDF, 275kb)

菲利普·伦德勒:主题和变化的div \mu = \sigma
(矢量)测量\mu和\sigma的PDE div \mu = \sigma有时以一种略微隐藏的方式出现在几何测量理论和变分的许多不同问题中，例如在正常电流的结构理论、Lipschitz函数、变量和BV映射的升力中。在这次演讲中，我将调查关于这个方程和其他相关偏微分方程的一些最新结果。作为应用，我将讨论解的奇点结构，维数估计，BV上的积分泛函，以及Rademacher定理的几个版本(包括欧几里得和非欧几里得设置)。幻灯片(PDF, 713kb)

Henrik Shah Gholian:从锥内流体流动到具有RHS的偏微分方程的边界哈纳克
一个简单的自制实验显示了在靠近桌子角的桌子上流体流动的有趣行为。实验揭示了偏微分方程的一种新的边界哈纳原理。
(根据马克·艾伦(Mark Alen)最近的工作。)幻灯片(PDF, 3.6 MB)

埃斯巴达罗:最小的表面如何留下薄薄的障碍
幻灯片(PDF, 409kb)

Joel Spruck: R3中具有非负平均曲率的完全平移孤子
证明了R3中对于平均曲率流的完全浸入双面平均凸平移孤子S是凸的。作为推论，R3中的整个平均凸图平移孤子是轴对称的“碗型孤子”。我们还证明，如果S的平均曲率在无穷远处趋于零，那么S可以表示为一个完整的图，“碗孤子”也是如此。最后，我们对条状区域上定义的所有局部严格凸图平移孤子的渐近行为进行了分类。这是我和凌霄合作的作品。

泽维尔·托尔萨:谐波测量的弱(A_\infty\)条件:谐波测量的几何特征\ (p L ^ \)狄利克雷问题的可解性
弱-\(A_\infty\)条件是通常的\(A_\infty\)条件的变体，它不需要对权重进行任何加倍假设。几年前，Hofmann和Le证明，对于具有\(n\)- ad正则边界的开集\(\Omega\子集\mathbb R^{n+1}\)，大\(p\)拉普拉斯方程的Dirichlet问题的\(L^p\)可解性等价于谐波测度满足弱-\(A_\infty\)条件。针对相关谐波测度满足弱-\(A_\infty\)条件的开集的几何描述，Hofmann和Martell在2017年证明，如果\(\partial\Omega\)是一致的\(n\)-可调的，并且存在一个合适的连通条件(所谓弱局部John条件)，则谐波测度满足弱-\(A_\infty\)条件，并推测其反向蕴涵也成立。在这次演讲中，我将讨论Azzam、Mourgoglou和我自己的一项工作，通过证明谐波测度的弱- (A_\infty\)条件意味着弱局部John条件，完成了Hofman-Martell猜想的证明。幻灯片(PDF, 334 KB)

王克磊:Allen-Cahn方程中过渡层的二阶正则性
在这次演讲中，我将讨论Allen-Cahn方程稳定解的水平集的一致二阶正则性，它在有限莫尔斯指数解研究中的应用，以及这个问题与Toda系统稳定解的联系。幻灯片(PDF, 1.1 MB)

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