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我们将开发一种新的随机梯度下降算法。根据目标函数值自适应控制噪声项的方差，证明了全局代数收敛速度。早期的结果只给出了对数速率。重点将主要放在添加随机成分以实现全局收敛的算法上，而不是使用抽样来实现目标或损失函数的有效逼近。我们还将看到这种方法扩展到无梯度设置。

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黑洞和中子星合并的数值模拟对于引力波天文学的新兴时代是必不可少的，但计算非常具有挑战性。不连续伽辽金(DG)方法和基于任务的并行方法帮助我们将这些模拟扩展到超级计算机。在本次研讨会中，我将介绍我们的广义相对论椭圆爱因斯坦约束方程的不连续伽辽金格式，以及在涉及黑洞的问题中的应用。我们的数值格式适应曲面流形，非线性边界条件，和hp-非一致性网格。我们的广义内罚数值通量和消除辅助自由度的schur -补策略使格式紧凑，而不需要特定于方程的修改。我还概述了我们在超级计算机上有效解决dg离散椭圆问题的策略。

维迪尔对偶性是良好分层空间上可建构束的派生类别的一个关键特征。在本讲座中，我们将解释如何将对偶定理扩展到圆锥光滑分层空间上的可构造束，并在一般稳定的双完全无限范畴中赋值。我们的证明依赖于两个主要成分，一个是绝对的，一个是几何的。第一个是在高等代数中，Lurie证明的，禾捆和禾捆之间的等价关系。Lurie定理将在我们的讨论中出现，既作为六函子形式主义的基本组成部分，又作为可构造捆上的对偶函子的一个因素。第二种是由Ayala、Francis和Tanaka引入的unzip结构，它提供了一种奇异点的函数解析来平滑带角的流形。这将被用来证明任何紧致圆锥光滑分层空间的出口路径无限类别是有限的。

拓扑学的一个关键问题是把流形的体积与其它一些复杂性的概念联系起来。一方面，我们关注流形的简体积，一个编码黎曼体积的非平凡信息的同伦不变量。另一方面，为了描述空间的复杂性，我们使用与覆盖相关的整数值不变量，即所谓的类别不变量。特别是，由于适应性组在大尺度几何的背景下是小的，我们将看到适应性开放封面如何成为简单体积的正确近似工具。

我们提出了一个最优运输的框架，旨在从结构因果模型(即包含由有向图指示的信息结构的模型)中产生的概率度量。这建立在最近一系列研究时间序列分布概念的文献(称为因果或适应性最优传输)的基础上，该概念在金融环境中得到了许多应用。我们恢复了针对特定时间图结构的自适应最优传输问题，并进一步说明了其他特殊情况，如标准最优传输问题(全连通图)或与Gromov-Wasserstein相关的问题(无边图)也包括在设置中。对于一个特定的图结构，耦合的概念有各种各样的特征，产生了不同的解释和数值可能性。进一步，我们证明了所得到的瓦瑟斯坦距离概念可以用来控制不同分布下平均处理效果之间的差异，并且在几何上适合于不同结构因果模型之间的插值。

Birch-Swinnerton-Dyer猜想给出了椭圆曲线或交换型曲线的l -函数秩的公式。奇偶猜想是秩的奇偶的相对简单的预测。正如我将要解释的，它在实践中使用起来要容易得多，而且它预测了大量显式算术现象。最后，我将讨论最近关于交换曲面和曲线雅可比矩阵的猜想的一些结果。