Noga Alon:最优通用图

包含每个k顶点图作为诱导子图的图的最小顶点数是多少?改进了Moon、Bollobas和Thomason以及Alstrup、Kaplan、Thorup和Zwick的早期估计，我将证明答案是(1+o(1))2^{(k-1)/2}。证明结合了组合和概率的论点与群理论的工具。

Jozsef Balogh:容器方法的一些应用

容器方法被证明在组合学的几个领域是适用的。在这次演讲中，我将介绍一些新的应用。这是与Jozsef Solymosi合作的作品。

David Conlon:准随机Cayley图

我们证明了Cayley图中具有小差异和具有小第二特征值的性质是等价的，推广了Kohayakawa, Rödl和Schacht在abel情况下的一个结果。证明依赖于一些成分，包括格罗腾迪克不等式和非abel傅里叶分析。作为推论，我们也证明了一个相似的结果在所有的顶点传递图中都成立。与赵宇飞合作。

雅各布·福克斯:拉姆齐数的进展

拉姆齐理论指的是数学中大量深刻的结果，其基本哲学可以用“每个非常大的系统都包含一个组织良好的大型子系统”这句话来简洁地概括。拉姆齐数描述了为了实现这一点，系统应该有多大。尽管拉姆齐数备受关注，但人们通常不太了解它。本次演讲将讨论该领域的一些主要问题和最新进展。

Peter Frankl: 1966年Erdos和Kleitman问题的完整解决方案

(与安德烈·库帕夫斯基合作)

Ehud Friedgut:信息理论的几何稳定性

有几个著名的不等式将物体的体积与其投影的体积联系起来(例如卢米斯-惠特尼不等式、博洛巴斯-托马森盒定理、希勒熵引理等)。大多数不等式是紧的当且仅当所讨论的物体是一个盒子。在这次演讲中，我们证明了这些不等式是稳定的:只有当所讨论的物体接近于一个盒子时，它们才接近于紧。

我们的方法是信息理论。为了得到紧凑的结果，我们需要用一个更紧凑的不等式来取代经典的平斯克不等式，这个不等式只适用于集合上均匀的分布(平斯克不能一般地改进)。作为推论，我们推导了d维网格上边-边界等周不等式的稳定性版本。

与D. Ellis, G. Kindler和A. Yehudayoff合作

Zoltan Füredi: Erdos-Gallai定理在循环和路径上的稳定性

(与Alexandr Kostochka和Jacques合作的作品Verstraëte)

潘妮·哈克斯尔:边着色多重图

设\(G\)为最大度\(\Delta\)的无环多重图。20世纪70年代，Goldberg和Seymour(独立地)提出了一个著名的猜想，认为如果G没有带\(\Delta+1\)颜色的边着色，那么它包含一个由顶点子集组成的自然障碍，该顶点子集导致太多的边被带\(\Delta+1\)颜色着色。我们讨论了最近与这个猜想有关的部分结果。主要的工具是由于塔什金诺夫的一个重要方法，称为法Tashkinov树，这是交替路径方法的复杂推广。

Michael Krivelevich:超临界随机图中的MAXCUT，随机图的着色和随机竞赛

我们确定了超临界随机图G(n，(1+\epsilon)/n)中最大切的渐近行为是\epsilon的函数。该论证基于Ding, Lubetzky和Peres的一个定理，描述了这种情况下随机图的巨大分量的典型结构。

然后，我们应用这个结果来证明弗里兹和佩登的下列猜想。对于每一个\epsilon>，存在l(\epsilon)，使得随机图G~G(n，(1+\epsilon)/n)高概率地与2l+1个顶点上的循环不同态。

最后，我们分析了p-随机竞赛的典型着色性质，这些性质是由n个顶点的传递竞赛通过以概率p独立反转每条边得到的。我们将上述结果用于稀疏随机图中的MAXCUT，以处理超临界情况p=(1+\epsilon)/n。

这是与特拉维夫大学的Lior Gishboliner和Gal Kronenberg合作的成果。

Daniela Kühn:一个近似分解的爆破引理

关于包装和分解的问题由来已久，可以追溯到19世纪。例如，Steiner三重系统的存在(由Kirkman在1847年证明)对应于在\(n\)个顶点上的完全图\(K_n\)的边集分解为三角形(如果\(n\)满足必要的可除条件)。有几个漂亮的猜想推动了这一领域的大量研究。一个主要的例子是Gyárfás和Lehel的树包装猜想，它可以保证将一个完整的图分解为一个合适的给定树集合。我们开发了一种新的工具，用于构造稠密准随机图的近似分解为有界度图。我们的结果可以被看作是Komlos, Sarkozy和Szemeredi的经典爆破引理在近似分解条件下的扩展。我将讨论这个工具及其一些应用。
(联合作品:Jaehoon Kim, Deryk Osthus, Mykhaylo Tyomkyn)

Eyal Lubetzky:关于扩展器上的键渗透和随机游走

Alon、Benjamini和Stacey(2004)的开创性工作强调了膨胀体上的键渗流与完全图(即Erdos-Renyi随机图G(n,p))上的键渗流之间的相似性。例如，在一组规则膨胀器中，其周长趋向于
无穷大，Alon等人确定了巨大分量出现的临界概率，并以高概率建立了其唯一性。我们继续研究这个类比，并比较了膨胀器上渗流几何的关键特征与随机图的几何特征，包括巨星的渐近大小，2核的大小，巨星中最长的路径和第二大分量的大小。后者通过等周不等式与图上的随机游走行为相关，如果时间允许，我们将与典型(随机)展开器上的随机游走行为进行对比。

基于与Anna Ben-Hamou, Michael Krivelevich, Yuval Peres, Benny Sudakov的合作。

Alexander Lubotzky:拉马努金复合体和拓扑扩展器

展开子图，特别是拉马努金图，在过去40年里在组合学和计算机科学中发挥了重要作用，最近也在纯数学中发挥了重要作用。大约10年前，Li、Lubotzky-Samuels-Vishne等人提出了拉马努金复合体理论。

近年来出现了一种高维膨胀器理论。几何扩张子和拓扑扩张子的概念是由Gromov在2010年定义的，他证明了完全d维简单复合体是这样的。他提出了存在这种维数为d>1的有界度复合体的基本问题。

2013年Fox-Gromov-Lafforgue-Naor-Pach证明了拉马努金复合体是几何膨胀子，但如果它们也是拓扑膨胀子，则没有定论。

Kaufman-Kazdhan-Lubotzky和Evra-Kaufman最近分别在小维和全维的情况下证明了(d+1)维Ramanujan配合物的d骨架提供了有界度拓扑扩张子。这回答了格罗莫夫最初的问题，但拉马努金复合体本身是否是拓扑扩展子仍然没有定论。

我们将描述这些进展和高维扩展器的一般领域及其一些开放问题。

Tomasz Luczak:再来看看相变

在讨论中，我们描述了在相变点附近随机图的一元二阶性质的极限行为。

Deryk Osthus:关于图的分解阈值

Wilson的一个基本定理指出，对于每个图F，每个足够大的F可分团都有一个F分解。在这里，一个图G具有F分解，如果G的边可以被F的边不相交副本所覆盖，而F可分性是它的一个微不足道的必要条件。我们把威尔逊定理推广到远不完全的图。特别地，我们确定了任意二部图F的“分解阈值”。对于一般图F，我们将分解阈值减少到最多3个可能的值。

我们的主要贡献是一种通用的“迭代吸收”方法，它将近似分解或分数分解转化为精确分解。我们的研究结果还涉及到一个问题，即什么时候一个部分完成的拉丁正方形可以扩展到一个完整的拉丁正方形。(这包括与本·巴伯，斯特凡·格洛克，艾伦·罗，理查德·蒙哥马利，德里克·奥斯thus和阿米莉亚·泰勒的合作。)

János路径:段交点图

给定一个几何对象集合S，它们的不相交图是顶点集合S上的图，其中两个顶点当且仅当它们不相交时由一条边连接。证明了d维空间中段的离点图的色数由其团数的4次方自上有界。与G. Tardos和G. Toth合作。

Oleg Pikhurko:圆平方背后的组合学

我将讨论拉茨科维奇证明的组合方面，即一个正方形可以被切割成有限多个部分，这些部分可以通过平移重新排列形成一个圆盘，以及我们最近的加强(与L.Grabowski和a . mathe一起)，这些部分还可以被要求同时具有贝尔和勒贝格可测量性。

Wojciech Samotij:在随机图中包装大型树

我们解决了在随机图中包装大型树的问题。假设\(T_1，…)， T_(np/2)\)是最大度不超过\(\epsilon np/\log n\)的n顶点树。这样就有很大的概率在随机图\(G((1+\eps)n,p)\)中找到所有\(T_i\)的边不相交副本。在更强的最大度假设下，\(G(n,p)\)也是如此。

这是我和Asaf Ferber的合作。

Mathias Schacht:超图Mantel定理的推广

我们研究了\(k\)-一致超图中\(k+1\)-顶点上三个超边的极值问题。对于\(k=2\)，这可以简化为极值图论中Mantel的经典结果，这意味着任何密度大于\(1/2\)的图都包含一个三角形，即三个顶点上有三条边。对于\(k>2\)，这个问题是广泛开放的，我们研究了一个变化，其中考虑的大超图满足关于\((k-2)\)元组的额外遗传密度假设。在这个方向上，Glebov、Kral’和Volec指出，对于\(k=3\)，相应的极值密度是\(1/4\)。我们推广这些结果，表明对于任意的\(k\)，这个问题的极值密度是\(2^{1-k}\)。这是与Christian Reiher和vojtch的联合工作Rödl。

亚历山大·斯科特:大色数图的诱导子图

对于具有很大色数的图G的诱导子图，我们能说些什么?如果G没有大的派系，那么我们还能保证什么呢?我们将讨论最近在这个主题上的工作，并提出一些新的结果。

Asaf shapiro:去除锦标赛引理

假设需要改变n顶点竞赛G的至少\(\epsilon n^2\)边的方向，以使其无h。正则性方法的一个标准应用表明，在这种情况下，G包含H的\(f(\epsilon,H)n^ H \)个副本，其中H是H的顶点数，f是某个可怕的塔型函数。在几个相关研究的激励下，我们考虑了f是\(\epsilon\)多项式的竞赛H的刻画问题。

与L. Gishboliner和R. Yuster合作

Tibor Szabo:最小Ramsey图和Folkman数

图G是H的最小拉姆齐图，如果G的边的每一个r-着色都包含H的单色副本，但G的任何固有子图都不具有这个性质。Burr, Erdos和Lovasz确定了k-团的双色最小拉姆齐图的最小可能最小度。在这里，我们得到了最小最小度的上界，紧靠对数因子，对于任意数量的颜色。我们的证明依赖于Fox等人对相应极值函数的重新定义，并改进了Dudek、Eaton和Rodl用于顶点福克曼数的方法。这代表了与Hiep Han和Vojta Rodl的联合工作。

Endre Szemerédi:一组整数的最大大小，其中没有两个相加等于一个正方形

Erdos和Sarkozy询问了前N个整数的最大大小，其中没有两个元素之和为完全平方。对于足够大的n，我们得到了紧解11/32N。此外，我们还将讨论整数和模情况下的稳定性结果。

Jacques Verstraete: turr 图的扩展问题

图\(G\)的展开\(G^+\)是由\(G\)得到的三重系统，它通过一个与\(V(G)\不相交的顶点来扩大\(G\)的每条边，使得不同的边被不同的顶点放大。设\(ex(n,G^+)\)表示不包含任何\(G^+\)副本的\(n\)-顶点三重系统中的最大边数。在极值集理论中，许多问题都要求确定各种图\(G\)的\(ex(n,G^+)\)，例如，当\(G\)是一个有\(r\)边的星形时，这是一个有\(r\)边的单例交点问题，当\(G\)是一个有\(r\)边的匹配时，这是Erdös匹配问题，这两个问题都被Frankl解决了。我们调查这些图兰类型的问题，重点关注最近的发展。特别地，如果\(T\)是一棵树，\(\sigma(T^+)\)表示最小顶点集的大小，这样\(T^+\)的每条边都只包含集合中的一个顶点，我们显示$$ex(n,T^+) \sim (\sigma(T^+) - 1){n \choose 2}$$这在强烈意义上解决了关于树展开的Kalai猜想。