Mandelbrot集合M将复二次族f_c(z)= z^2+c的整个动力学过程编码在一幅图中。这个故事相当引人注目，从一个简单的映射z^2开始，然后发展，通过一系列的分岔，复杂的混沌和分形结构。在一些地方，它是自相似的，而在另一些地方，它是完全无法识别的。如何理解这些模式?有强大的几何和动力学思想，导致对集合的全面理解。但是还有一个有待解决的问题:“MLC猜想”断言M是局部连通的。

我们将给出薄障碍问题的完全非线性版本的一些新结果。更准确地说，我们的主要结果建立了爆破在正则点的唯一性和解的最优正则性。这是玛丽亚·科伦坡和泽维尔·费尔南德斯-雷亚尔的合作作品。

取一个多项式映射\(mathbb{F}_q\到mathbb{F}_q\)在一个(大的)有限域上，计算其映像中元素的分数。最有可能的是，你得到了\(\大约0.632\)。一旦我们解释了原因，我们就得到了一个群论问题:假设对称群\(S_n\)的一个子群$G$与\(S_n\)本身具有相同的无定点元素比例。它是否遵循\(G=S_n$\)?演讲将是非技术性的。我们将调用\(e=2.71…\)的属性。

在这次演讲中，我将提出一个公式，从它的生成函数来读取多维无限大数列的渐近性。在二元情况下，这意味着从函数a (x,y)= Σ_{m,n≥0}a_{m,n} x^m y^n中读取当m,n→∞和m/n^θ→s(其中θ>是固定的，s>是一个变量)时a_{m,n} x^m y^n的渐近。
我将用随机映射模型中的一些例子来解释为什么这种渐近性对于研究概率模型是有用的，特别是对于建立具有奇异极限分布的一致局部极限定理。以前，类似的公式只有在θ=1且函数A是有理的情况下才可用。相比之下，我们的方法适用于任何θ>和代数函数A，但在A的奇异结构的一些附加条件下，如果时间允许，我将解释为什么新旧方法处理不相交的情况，以及将来如何将它们组合在一起。

对于每一个偏序集，都可以联想到一个单纯复形。这使得人们一方面可以使用拓扑工具来研究偏置集的组合，另一方面也可以使用组合工具来研究拓扑空间。我将讨论这两个方面是如何在群体理论中出现的:首先，我将给出一些例子，说明如何产生带有群体行动的“好”空间。然后，我将讨论quillen型纤维定理，它是研究由偏置集构造的空间拓扑的重要工具。

我们继续研究$ R^d$上从测度$ mu$到测度$ nu$的鞅传输。由Backhoff、Beiglböck、Huesmann和Källblad提出的拉伸布朗运动的概念，可以被定义为“最接近布朗运动”这个问题的解决方案。我们进一步发展了附属于这个概念的对偶理论。作为一个应用，我们证明了在单不变的deMarch-Touzi分量的情况下，拉伸布朗运动是标准型的。与Backhoff, Beiglböck和Tschiderer合作。

我们正在研究多智能体或多粒子系统的渐近行为随着智能体数目的增加。然而，与经典的平均场极限的一个主要区别是，agents是不相同的，特别是哪一对agents相互作用，以及多大程度是由可能依赖于时间的交互图规定的。这类模型被广泛应用于从耦合振荡器到生物神经元网络的各个领域。这些应用需要大量的介质或粒子，使得平均场极限具有吸引力。但是通常混沌传播的概念不再适用，这迫使经典理论发生重大变化。这是D. Poyato和J. Soler的合作作品。

Virasoro约束是gw理论中一个著名的猜想。最近，Moreira, Oblomkov, Okounkov和Pandharipande为三重的pt理论和曲面上点的希尔伯特格式制定了版本。我将介绍这个猜想的一个版本，它适用于曲面上稳定束的模空间，推广希尔伯特格式的情况。然后我将解释如何验证这个猜想在几个明确的toric案例。这涉及到最初由Klyachko提出的等变层的组合描述。