演讲(标题和摘要)

主要内容

广义McKean-Vlasov控制问题及其在最优清算中的应用

我将考虑McKean-Vlasov随机控制问题，其中成本函数和状态动力学都依赖于被控制状态和控制过程的联合分布。在这个框架中，我将以必要和充分的形式提供庞特里亚金随机最大原理的一个合适版本。然后，我将把这些结果应用到一个最优清算问题，在这个问题中，大量交易员需要在给定的时间间隔内买卖大量股票。交易者通过一个永久的市场影响来影响价格动态，同时受到一个只影响他们自己价格的暂时影响。我将展示我们的庞特里亚金原理如何在渐近的意义上，为这个问题提供一个封闭的解。
如果时间允许，我还将提出一种不同的方法来解决McKean-Vlasov随机控制问题，这将在此类问题和路径空间上的最优运输问题之间建立新的联系。
会谈的基础是与J. backhoffa - veraguas和R. Carmona的联合项目。

演示文稿（PDF，883KB）

路易吉·安布罗西奥：用Lipschitz函数逼近Sobolev函数的Lusin意义

在欧几里得和更一般的双倍度量测度空间中，局部庞加莱不等式成立，Sobolev和BV函数与Lipschitz函数重合在大集合上。这个性质的定量版本有各种各样的应用(积分泛函的下半连续性，矢量场的流动，谐波近似，电流理论)。我说明了这种性质是如何在远不是加倍的度量测度结构中持续存在的，如有限或无限维高斯空间，更普遍的\(CD(K，\infty)\)空间(与e.b uue '和D.Trevisan合作)。

简报(PDF, 248kb)

彼得·班克:竞争激烈的交易商市场的流动性

我们认为竞争对手的业务模式是为他们的客户订购一些资产的竞争性价格，同时动态管理他们的库存风险，通过资产转移到最终用户市场。在终端用户市场中，资产价格是以外来的方式给出的，但转让会受到搜索成本的影响，这阻碍了该市场的交易。继Soner等人（2017年）之后，我们通过在转移率上施加二次成本的二次跟踪问题来制定经销商的库存管理问题。然后，我们计算客户需求最大化经销商风险调整预期收益的均衡价格。我们还描述了客户将如何优化其二次预期效用，并分析他们何时从经销商的存在中获益。（与Ibrahim Ekren和Johannes Muhle Karbe共同工作）

简报(PDF, 1.1 MB)

Erhan Bayraktar：有限状态多人博弈的主方程分析

我们考虑一个博弈者之间弱相互作用的\(n\)参与人对称随机对策。时间是连续的，视界和状态的数量是有限的。我们证明了每个参与者的值函数可以用一个称为主方程的偏微分方程的解来近似。此外，我们分析了博弈参与者状态的经验测度的波动，并证明了它是由一个随机微分方程的解控制的。此外，我们还为实证测量提供了一个大偏差原则。最后，我们证明了主方程的正则性，这是上述结果所需要的。
与Asaf Cohen(海法大学)合作。

简报(PDF, 11.7 MB)

布鲁诺·布查德：随机目标理论:在价格冲击和市场流动性下的套期保值中的应用

讨论了具有价格影响和流动性成本的金融市场马尔可夫连续时间模型中的套期保值问题。在这种情况下，超级对冲价格没有双重公式。我们解释了Soner和Touzi的随机目标方法，可能结合平滑技术，是如何作为一个非常强大的工具来描述拟线性或完全非线性的抛物方程。从纯粹的金融角度来看，在支付的一定平滑条件下，标准估计可以用来证明超级套期保值价格与修正支付的完美套期保值价格重合，表明这些类型的模型本质上保持了完整性。

演示文稿（PDF，394KB）

皮耶马尔科·卡纳萨：奇点的传播

研究的点集的结构特性粘度的解决方案,u,无法可微的一阶哈密顿雅可比方程——简而言之,奇异的u -开始的纸(粘度解决Hamilton-Jacobi-Bellman方程的奇点,印第安纳大学。数学。[J. 36(1987)，第501—524页]。这三十年来，在理解奇点传播的方式方面取得了巨大的进展:我们现在可以提供奇点集的精细拓扑分析，用广义特征描述奇点动力学，甚至研究奇点曲线的长时间行为。在我的演讲中，我将回顾这一理论的里程碑，并讨论可能的发展和未决问题。

简报(PDF, 10.6 MB)

皮埃尔·卡达利亚盖:具有普通噪声的平均场对策主方程的新构造

在这篇演讲中，我将解释如何通过相对简单的论据来获得具有常见噪声的平均场对策的主方程的存在性。这个方程在最优控制问题的理论中起着中心的作用，有无数的参与者面对一个共同的随机扰动。这是与a . Porretta (Rome Tor Vergata)的合作作品。

演示文稿（PDF，454KB）

René Carmona:激励平均场游戏玩家和不稳定的代价

与Francois Delarue的联合工作。会谈将试图量化平均场博弈（MFG）均衡的效率（或缺乏效率），并根据机制设计理论的精神，提出激励参与者采取最佳行为或产生最佳价值的方法。一方面，制造业纳什均衡的社会成本高于中央计划者优化产生的均衡的社会成本。这一财产是众所周知的。以无政府状态价格（PoA）的名义对许多模型进行了记录和量化。另一方面，虽然MFG纳什均衡本质上是稳定的，但我们证明了由中央计划者优化产生的均衡是不稳定的，并且我们提出了由中央计划者优化问题的解确定的社会福利均衡的不稳定价格（PoI）的概念。我们计算（分析和数值）线性二次模型的PoI度量。最后，我们引入了一个重复博弈，在这个博弈中，在每个历元中，使用中央计划员确定的策略的一个固定比例的玩家可以选择退出，如果他们选择使用不同的策略，则可以使用不同的策略。

Patrick Cheridito:深度最佳停止

针对最优停车问题，我们提出了一种深度学习方法，直接从蒙特卡罗样本中学习最优停车规则。因此，它广泛适用于能够有效模拟潜在随机性的情况。我们在两个基准问题上检验了该方法:不同标的资产的百慕大最大看涨期权定价问题和分数布朗运动的最优停止问题。在这两种情况下，它都能在计算时间短的高维情况下产生非常准确的结果。

Freddy Delbaen:三角函数和的mod -高斯收敛

Salem和Zygmund证明了三角函数的指数沿着一个空白(Hadamard)序列“几乎”表现为独立的随机变量。它们满足中心极限定理。我们将证明这些序列甚至满足一种更好的收敛形式，称为模高斯。这允许证明局部收敛定理。很容易看出这些定理并不推广到西顿集。Kac证明了对于行为良好的函数，将参数加倍得到的序列再次满足中心极限定理。Kac的工作可以放在鞅的框架下进行推广。这是与苏黎世大学的Emma Hovhannisyan的合作。

简报(PDF, 933kb)

阎德林斯基:二元性与价格影响的收敛

我将讨论与具有价格影响的超级复制相关的几个对偶结果。此外，我们将看到这些对偶结果如何应用于研究超复制价格的渐近行为。这次会谈是基于与梅特·索纳和彼得·班克的合作。

演示文稿（PDF，359KB）

Craig Evans：弱KAM理论的Riccati方程方法

我将简要回顾PDE的对数变量改变技巧是如何将线性方程转换为Riccati方程的ODE方法的推广。然后，我将讨论某些矩阵Riccati ODE系统在正/负无穷时如何具有唯一的“主解”，并介绍一些关于这些主解在弱KAM理论中的出现的猜想。

彼得·弗里兹：通过粗略路径/规则结构分析粗略波动

最近，金融建模领域出现了一种新的范式:粗糙(随机)波动率，首先由Gatheral等人在高频数据中观察到，随后在市场微观结构模型中推导出来，也被证明捕获了整个隐含波动率表面的关键风形化事实，包括被认为是在随机波动率范围之外的极端偏差。在数学方面，马可夫性和部分半鞅性消失了。本文证明了粗糙路径理论的一个重要扩展——海雷尔规则结构，它在随机偏微分方程领域引发了一场革命，也为粗糙波动率模型的分析提供了一个新的有力工具。本演讲基于与拜耳，P. Gassiat, J. Martin, B. Stemper和P. Pigato的合作。

郭欣:Itô的次线性期望下的偏微分方程和粗糙路径计算

讨论了次线性期望空间的解析构造问题。我们首先研究次线性期望空间中的鞅问题。关键工具是关于完全非线性偏微分方程解的正则性的Evans-Krylov定理。摘要在分析鞅问题的基础上，受粗糙路径理论的启发，对一般随机过程发展了随机微积分，并导出了Itô型公式和分部积分公式。我们的框架是分析的，因为它不依赖于g期望理论中“独立”的概率概念。

简报(PDF, 300kb)

Robert L. Jerrard: Gross-Pitaevskii方程中的集中涡度

在格罗斯-皮塔耶夫斯基方程的三维解中，我们精确地描述了薄的、几乎平行的涡旋细丝的运动，描述了理想的齐次量子力学流体。特别地，我们证明了在一定的尺度限制下，这些细丝由一个由Klein、Majda和Damodaran在中间正式推导的非线性Schrödinger方程系统控制
在欧拉方程的背景下。这是在任何情况下对Klein-Majda-Damodaran模型的第一次严格证明。
这是与迪迪埃·斯米茨的合作。

Ioannis Karatzas:通过数字套利理论:一项调查

我们调查了一个基于以下原则的金融数学理论:它应该是不可能的资金，开始任意小的初始资本，一个非平凡的累积资本提取流，即严格正概率。在由半鞅建模的连续资产价格的背景下，我们表明，禁止这种极端形式的套利（但考虑到一种投资组合可能跑赢另一种投资组合的可能性）相当于以下任一条件：

（i）存在具有局部鞅数值属性的投资组合，

(ii)存在增长最优投资组合，

（iii）存在具有对数最优性质的投资组合，

（iv）存在严格正的局部鞅平减指数，

（v）市场具有局部有限的最大增长。

我们给出了这些术语的精确含义，并证明了上述五个等价条件是正确的描述性的-因为它们可以完全地，事实上非常简单地，按照地方特色(漂移和协变)的基础资产价格。成熟的套期保值和投资组合/消费优化理论可以在这样的环境下发展，重要的概念“市场完整性”也可以。资产价格的半鞅性质是必要的为了生存，当投资被限制为“只做多”——也就是说，避免股票的负（“空头”）头寸，并且永远不要从货币市场借款。这些概念和结果允许对具有任意数量资产的设置进行扩展。

(与康斯坦丁诺斯·卡达拉斯合著的工作手册。)

演示文稿（PDF，355 KB）

Pierre-Louis Lions: Mean Field Games

本次演讲将对平均场游戏（简称MFG）进行总体介绍，这是一类新的数学模型和问题，与Jean-Michel Lasry合作介绍和研究。粗略地说，MFG是一种数学模型，旨在描述大量“代理”的行为，这些代理在考虑其他代理并与其他代理交互的同时优化其决策。MFG的推导，可以从N人博弈的纳什均衡中严格证明，让N变为无穷大，导致新的非线性系统涉及常微分方程或偏微分方程。许多经典系统都是MFG的特例，例如，可压缩Euler方程、Hartree方程、多孔介质方程、半线性椭圆方程、Hamilton-Jacobi-Bellman方程、Vlasov-Boltzmann模型。。。在这次演讲中，我们将用一个非常简单的例子来解释MFG模型是如何推导出来的，并介绍该理论的一些概况，它与许多其他领域的联系及其应用。

约翰内斯Muhle-Karbe:具有交易成本的均衡资产定价

我们研究二次交易费用对风险分担经济的影响。利用概率方法，我们在此背景下讨论了均衡的存在性、唯一性和特征，并讨论了交易成本对均衡资产价格及其动态的影响。
(根据与布鲁诺·布夏尔(Bruno Bouchard)、深泽正昭(Masaaki Fukasawa)、马丁·赫德根(Martin Herdegen)和迪伦·波萨迈(Dylan Possamai)的合作作品改编。)

演示文稿（PDF，314KB）

贝诺·佩瑟姆：适应，选择，变异:进化的数学观点

生命系统的特征是可变性;C.~Darwin认为，它们通过种群增长、营养限制选择和突变三个过程不断进化。

为了描述环境与“适者”性状选择之间的相互作用所产生的动力学，已经提出了一些数学理论。人们可以使用基于个体的随机模型、动力系统、博弈论，将特征视为策略。从种群的角度来看，种群服从密度数的积分偏微分方程。

我们将给出这种动力学的一个完备的数学模型，并证明一种渐近方法使我们能够精确地形式化单态或多态种群的概念。然后，我们可以描述“适者生存性状”的进化过程，并最终计算出代表两个不同种群共存的不同形式的分支点。

这些概念是基于对上述抛物型方程进行适当重标度后的渐近分析。这导致溶液的集中，困难在于评估描述总体的移动狄拉克质量的重量和位置。我们将证明一种新型的哈密顿-雅可比方程，在有约束的情况下，自然地描述了这种渐近性。

最近的发展关注的是非增殖优势，并导致定义的概念，“有效的健康”。

简报(PDF, 6.6 MB)

Jean-Charles Rochet: Aggregate Bank Capital and Credit Dynamics
Nataliya Klimenko, Sebastian Pfeil, Jean-Charles Rochet和Gianni De Nicolò

央行需要一种新型的量化模型来指导其金融稳定决策。本文的目的就是提出这样一个模型。在我们的模型中，商业银行通过存款和股权为贷款融资，同时在筹集新股权时面临发行成本。由于这种金融摩擦，银行建立了股票缓冲来吸收负面冲击。银行总资本决定信贷的动态。值得注意的是，均衡贷款利率是总资本的递减函数。竞争均衡受到限制，效率低下，因为银行没有将其个人贷款决策对银行部门未来吸收损失能力的影响内部化。特别是，我们发现资本不足的银行放贷过多。我们表明，引入最低资本比率有助于抑制过度放贷，增强金融稳定。

Walter Schachermayer：《金融学维度分析的惊人力量：市场影响和日内交易不变性假说》

金融市场交易的一个基本问题是分析由下单引起的价格变动。显然，我们希望——在同等条件下——下订单将使价格对代理商不利。这种价格运动称为市场影响。

继A.Kyle和A.Obizhaeva最近的工作之后，我们应用量纲分析——古典物理学中众所周知的一系列论据——来分析平方根定律的适用范围。这一普遍规律声称，市场影响与订单规模的平方根成正比。

我们还分析了交易活动对股票的依赖关系，即单位时间内的交易数量，在某种合适的依赖关系下
解释变量。量纲分析得出了2/3定律：交易的数量与交易的2/3幂成正比
风险。

这种分析的数学工具在于初等线性代数。

与Mathias Pohl, Alexander Ristig和Ludovic Tangpi合作。

简报(PDF, 615kb)

Steven Shreve:二维护照选择:一个开放的问题

护照期权是交易账户期权的一种特殊情况。期权持有人持续交易风险资产，持有最多一股的多头或空头头寸，直到期权到期。在到期日，期权持有者从交易中获得收益，如果收益为负，则损失可被原谅。对于单一几何布朗运动风险资产，护照期权定价问题有多种求解方法。单一风险资产情况的直觉强烈指示了多重风险资产情况下的解决方案是什么，但确认这个猜想是一个开放的问题。在这次谈话中，我们提出了单一资产的情况和两个资产的开放问题。

简报(PDF, 220kb)

Panagiotis Souganidis：非线性随机偏微分方程理论的最新进展

我将概述Pierre-Louis Lions和我一直在发展的具有乘法粗糙时间依赖性的完全非线性一阶和二阶偏微分方程的路径解理论。我还将讨论关于均匀化、有限传播速度和间歇规律性的一些最新结果。

尼扎尔·图齐：论连续时间契约理论

委托代理问题是经济学中考虑道德风险的最优激励方案建模的基石。它的连续时间公式是一个非零和Stackelberg随机微分对策问题，在现代电子经济系统中有着重要的应用。通过对后向SDE及其二阶展开的研究，导出了求解这类问题的系统方法。无限水平设置需要将此类反向SDE扩展到随机水平设置。

演示文稿（PDF，1.3MB）