研究报告

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高维全非线性偏微分方程和二阶倒向随机微分方程的机器学习逼近算法

Ch. Beck, W. E .和A. Jentzen

(报告编号2017-49)

摘要
高维偏微分方程(PDE)出现在金融行业的许多模型中，如衍生品定价模型、信贷估值调整(CVA)模型或投资组合优化模型。这种应用程序中的偏微分方程是高维的，因为该维对应于投资组合中金融资产的数量。此外，由于需要在模型中纳入某些非线性现象，如违约风险、交易成本、波动不确定性(奈特不确定性)或模型中的交易约束，此类偏微分方程通常是完全非线性的。这种高维完全非线性偏微分方程很难求解，因为标准近似方法的计算工作量随着维数呈指数增长。本文提出了一种求解高维全非线性二阶偏微分方程的新方法。我们的方法特别适用于从高维非线性期望中取样。该方法基于(i)完全非线性二阶偏微分方程和二阶倒向随机微分方程(2BSDEs)之间的联系，(ii) PDE和2BSDE问题的合并公式，(iii) 2BSDE的时间正向离散化和通过深度神经网络的空间近似，以及(iv)随机梯度下降型优化程序。在Python中使用TensorFlo}得到的数值结果说明了该方法在\(100\)维Black-Scholes-Barenblatt方程、\(100\)维Hamilton-Jacobi-Bellman方程和\(100\)维\(G\)- brown运动的非线性期望情况下的有效性和准确性。

关键词:深度学习，二阶倒向随机微分方程，2BSDE，数值方法，Black-Scholes-Barentblatt方程，Knightian不确定性，hamilton - jacobi - bellman方程，HJB方程，非线性期望，$G$- brown运动

助理

@科技报告{BEJ17_745，作者= {Ch。Beck and W. E and A. Jentzen}，题目={高维全非线性偏微分方程和二阶倒向随机微分方程的机器学习逼近算法}，机构={应用数学研讨会，ETH Z{\"u}rich}，编号={2017-49}，地址={瑞士}，网址= {https://www.sam.www.cintaputih.com/sam_reports/reports_final/reports2017/2017-49.pdf}，年份= {2017}}

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