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在这次演讲中，我们将提出一个框架，用于分析随机优化算法的动态(例如，随机梯度下降(SGD)和动量(SGD+M))，当样本数量和维度都很大时。为了分析，我们将引入一个随机微分方程，称为齐次SGD。我们证明了均匀SGD是SGD的高维等价——对于任何二次统计量(例如，具有二次损失的种群风险)，当样本数量n和特征数量d是多项式相关时，SGD迭代下的统计量收敛于均匀SGD下的统计量。通过分析齐次化SGD，给出了SGD训练动态和泛化性能的精确非渐近高维表达式，并给出了Volterra积分方程的解。该分析是针对满足一组可解析条件的数据矩阵和目标向量制定的，这些条件可以大致看作是数据的样本侧奇异向量的弱离域形式。通过分析这些限制动态，我们可以深入了解学习率、动量参数和批量大小选择。例如，我们确定了一个稳定性测量，隐式条件调节比(ICR)，它调节SGD+M加速算法的能力。当批大小超过该ICR时，SGD+M以$O(1/ \kappa)$的速率线性收敛，匹配最优的全批动量(特别是表现与全批一样好，但大小的一小部分)。相比之下，对于小于ICR的批处理大小，SGD+M的速率就像单批SGD速率的倍数。我们给出了明确的学习率和动量参数的选择，以实现这种性能的黑森谱。 Finally we show this model matches performances on real data sets.

随机矩阵经常出现在许多不同的领域-物理，计算机科学，应用和纯数学。通常，感兴趣的随机矩阵将具有非平凡的结构-条目是相关的，并且可能具有不同的均值和方差(例如，稀疏Wigner矩阵，与随机图的邻接矩阵对应的矩阵，样本协方差矩阵)。然而，目前对这种复杂随机矩阵的理解仍然缺乏。在这次演讲中，我将讨论关于具有a.s.有界算子范数的独立随机矩阵和谱的最新结果。特别地，我将证明在一些相当普遍的条件下，这样的和将表现出以下的普遍性现象-它们的频谱将接近具有相同均值和协方差的高斯随机矩阵。不需要事先有随机矩阵理论的背景-基本的概率论和线性代数知识就足够了。(与拉蒙·范亨德尔合作)预印链接:https://web.math.princeton.edu/~rvan/tuniv220113.pdf

在这次演讲中，我们将提出一个框架，用于分析随机优化算法的动态(例如，随机梯度下降(SGD)和动量(SGD+M))，当样本数量和维度都很大时。为了分析，我们将引入一个随机微分方程，称为齐次SGD。我们证明了均匀SGD是SGD的高维等价——对于任何二次统计量(例如，具有二次损失的种群风险)，当样本数量n和特征数量d是多项式相关时，SGD迭代下的统计量收敛于均匀SGD下的统计量。通过分析齐次化SGD，给出了SGD训练动态和泛化性能的精确非渐近高维表达式，并给出了Volterra积分方程的解。该分析是针对满足一组可解析条件的数据矩阵和目标向量制定的，这些条件可以大致看作是数据的样本侧奇异向量的弱离域形式。通过分析这些限制动态，我们可以深入了解学习率、动量参数和批量大小选择。例如，我们确定了一个稳定性测量，隐式条件调节比(ICR)，它调节SGD+M加速算法的能力。当批大小超过该ICR时，SGD+M以$O(1/ \kappa)$的速率线性收敛，匹配最优的全批动量(特别是表现与全批一样好，但大小的一小部分)。相比之下，对于小于ICR的批处理大小，SGD+M的速率就像单批SGD速率的倍数。我们给出了明确的学习率和动量参数的选择，以实现这种性能的黑森谱。 Finally we show this model matches performances on real data sets.

在这次演讲中，我们将提出一个框架，用于分析随机优化算法的动态(例如，随机梯度下降(SGD)和动量(SGD+M))，当样本数量和维度都很大时。为了分析，我们将引入一个随机微分方程，称为齐次SGD。我们证明了均匀SGD是SGD的高维等价——对于任何二次统计量(例如，具有二次损失的种群风险)，当样本数量n和特征数量d是多项式相关时，SGD迭代下的统计量收敛于均匀SGD下的统计量。通过分析齐次化SGD，给出了SGD训练动态和泛化性能的精确非渐近高维表达式，并给出了Volterra积分方程的解。该分析是针对满足一组可解析条件的数据矩阵和目标向量制定的，这些条件可以大致看作是数据的样本侧奇异向量的弱离域形式。通过分析这些限制动态，我们可以深入了解学习率、动量参数和批量大小选择。例如，我们确定了一个稳定性测量，隐式条件调节比(ICR)，它调节SGD+M加速算法的能力。当批大小超过该ICR时，SGD+M以$O(1/ \kappa)$的速率线性收敛，匹配最优的全批动量(特别是表现与全批一样好，但大小的一小部分)。相比之下，对于小于ICR的批处理大小，SGD+M的速率就像单批SGD速率的倍数。我们给出了明确的学习率和动量参数的选择，以实现这种性能的黑森谱。 Finally we show this model matches performances on real data sets.

在这个演讲中，我们将讨论一些与加权pally - wiener空间之间嵌入相关的极端问题。我们将根据所涉及的参数给出锐常数的一些渐近结果，推导出极值函数的存在性结果以及极值函数的径向对称性。对于某些情况，这些极值问题可以用尖锐的Poincaré不等式重新表述，对于这些情况，我们将给出恢复几个经典结果的极值器和尖锐常数的特征。

我将给出关于Kontsevich交换图复合体的欧拉特征的渐近增长速率的新结果。通过Chan, Galatius和Payne的工作，这些结果暗示了曲线模空间M_g的顶权欧拉特征具有相同的渐近增长率，并建立了在该空间中存在大量无法解释的顶权上同。我将举例说明证明的成分，并评论Karen Vogtmann最近在Out(F_n)和图的模空间方面的相关工作。

费奥多罗夫-希亚-基廷猜想有两个部分，一个是随机矩阵理论，一个是黎曼ζ函数。在随机矩阵部分，给出了哈尔酉矩阵特征多项式极大值的精确分布极限。使用复制方法和物理上的“冻结”ansatz，他们得到了迄今为止最精确的对数相关场预测之一，而且他们对一个甚至不是高斯分布的过程进行了预测。虽然现有的工作表明哈尔酉矩阵有许多对数相关的场连接，但显示最大值收敛的技术通常依赖于底层过程的高斯性或问题中内置的精确分支结构;特征多项式两者都没有。我们将描述这个问题和目前的技术状况，其中我们(演讲者和Ofer Zeitouni)展示了圆形- β系综随机矩阵的最大值收敛于甘贝尔和(非高斯)临界乘法混沌的总质量的卷积。

双曲群是20世纪80年代由M.Gromov引入的，它是具有非正曲率的黎曼流形的基群的推广。这些群形成了一大类有限生成群，具有许多良好的组合性质。性质(T)是由D.Kahzdan在20世纪60年代提出的，用来证明一大类格是有限生成的。这是一个刚性性质，这意味着如果一个群具有这个性质，在某些特定度量空间上的作用必须是平凡的。例如，树上的动作有一个固定点。我将讨论这两个概念以及它们之间的联系。如果时间允许，我将讨论一种加强属性(T)的方法，称为强属性(T)。

早在20世纪60年代(Novikov, Mischenko)人们就知道复协群的形式群的对数可以用复投影空间显式地表示，但直到最近才清楚相应指数系数的代数几何性质。在演讲中，我将解释，答案可以由主要极化阿贝尔变量的光滑θ因子给出。它将表明，因子及其交点的拓扑特征可以用置换面体的组合数学来表示。我们还揭示了户田格理论中因子、排列面体变体和托美流形之间的有趣关系。这次演讲是基于与V.M. Buchstaber的合作。

我们考虑一家公司，它用马尔科夫链对其盈余(带漂移的布朗运动)对商业周期的依赖进行建模。根据所选择的目标函数和控制对剩余的影响，可以显式地、递归地或根本不找到值函数和最优策略。对于只有一种状态最优的“一劳永逸”策略，在大多数多状态问题中被证明是次优的。在这次演讲中，我们将考虑一些“显式”和“递归”解的情况。作为一个布丁，我们看看“超越”的情况，其中模型具有随机连续贴现率-一个无限的制度设置。