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恩斯特教授恩格尔
2012年9月11日星期二下午4:30

第一讲:伯奈斯，希尔伯特和Gödel

2012年9月11日星期二下午5点

文摘:1917年，当时著名的数学家大卫·希尔伯特把保罗·伯奈斯从Zürich带到Göttingen，协助他为数学基础制定一致性方案。该著作的主要阐述出现在20世纪30年代希尔伯特和伯奈斯的两卷著作中，《Mathematik他的准备工作完全归功于伯奈斯。与此同时，维也纳一位早熟的博士库尔特·Gödel发现了他的不完备性定理，这可能会破坏希尔伯特的计划。虽然希尔伯特拒绝接受这一点，但伯奈斯通过与Gödel的通信，开始吸收这些定理的意义。这导致了他们两人之间终身深刻的个人和学术关系，其高潮将在本课中追溯。

第2讲:连续统假设是一个确定的数学问题吗?

2012年9月12日星期三下午2时15分

文摘:康托以他的超有限基数论和序数论建立了现代集合论，他首先证明了实数集比自然数集具有更大的基数;康托的连续统假设(CH)指出中间基数是不存在的。希尔伯特在1900年的国际数学家大会上提出了23个具有挑战性的数学问题，而建立CH的呼吁是其中的第一个。然而，一个世纪后，它并没有出现在价值100万美元的7个千年奖问题的名单上，尽管在此期间(或自那以后)没有找到解决方案。在这堂课上，我将讨论证明我的观点的证据(首先与Gödel相反)，即CH不是一个确定的数学问题，尽管它是根据已经成为数学的一个既定部分的概念来表述的。

第3讲:运算、集合和类的理论

2012年9月12日星期三下午4时30分

文摘:对于操作集论的公理系统OST，扩展了集合论的常用语言，使人们可以讨论既适用于集合又适用于运算的(可能是部分的)运算。它既与冯·诺伊曼的集与函数理论有关，也与伯奈斯的集与类理论有关。OST在强度上等价于容许集理论，OST的自然延伸在强度上等价于ZFC。OST语言提供了一个框架，在这个框架中表达“小的”大的基数概念——例如不可达的基数、马洛基数和弱紧基数——以专门用于可容许集上的类似概念的操作闭包条件。这说明了一个更广泛的方案，其目的是为出现在可容许集合理论、可容许递归理论、构造集合理论、构造类型理论、显式数学和证明理论中使用的递归序数符号系统中的大型基本概念的类似物提供一个通用框架。