与无限的大小作斗争

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第一讲:基本算术:康托的天堂

2020年8月31日(星期一)下午5点

文摘:我们将解释希尔伯特的第一个问题。具体地说，这个问题问的是连续统的值是什么:实数的数量是否等于aleph1 -在aleph0之上的第一个无限大基数=自然数的数量?回想康托在“有一个双射”下引入无限数，就像集合的等价类一样。连续统的大小问题的真正意思是:“基数算术的规律是什么，即无限大的数字的算术”。我们将回顾它的历史，(包括Gödel和Cohen)，提到不同的方法，解释什么是不可确定的，主要给出我们现在有的一些积极的答案。主要是共终性算法，也就是所谓的pcf理论;但我们也会提到连续统的基本不变量。

第2讲:连续统有多大?

2020年9月1日(星期二)下午2:15

文摘:康托发现，在数学中，我们可以分辨出许多称为“aleph数”的无穷。Gödel和Cohen的作品告诉我们，我们无法确定连续体的值是什么，也就是说，哪一个aleph数是“有多少个实数”这个问题的答案。这仍然不能阻止人们发表意见和争论。有人可能喜欢假设额外的公理来决定这个问题(通常是aleph1或aleph2)，并认为它们应该并最终将被采用。我们觉得假设连续统很小，我们就会有一些偶然的等式。因此，如果我们可以定义10个不可数的自然基数，但最多是连续体，而连续体比aleph10小，那么至少有两个基数是相等的，没有任何内在的原因。这样的数被称为连续统一体的基本不变量，它们从不同的角度自然地产生。我们想要证明它们是独立的，也就是说，它们的阶没有非平凡的限制。更具体地说，我们将试着解释希松图和关于它我们不能说的东西。

第三讲:连续体的基本不变量:它们都是独立的吗?

2020年9月1日(星期二)下午4:30

文摘:经验表明，在几乎所有情况下，如果你定义了连续统的一堆基数不变量，然后对一些简单的不等式取模，它就会强制(Cohen介绍的方法)不再有任何限制。这些独立的结果主要是在连续统的最大值为alph2的情况下。但这似乎只是由于我们的能力不足，因为问题更难。然而，这种观点忽略了有强迫的积极方面，我们能够证明独立结果:清除独立结果的废墟，我们失败的情况可能表明定理是存在的。我们将一方面处理成功的情况另一方面处理共终性算术，以及第一讲没有涉及的内容。