一个高余维的定量等周不等式

主要内容

Verena博士Bögelein / Frank Duzaar教授(Universität Erlangen-Nürnberg)

2012年11月16日,星期五,13.00 - 15.00
2012年11月23日,星期五,13.00 - 15.00
2012年11月27日,星期二,14:00 - 15:00

HG G 19.1

摘要

本课程的主要目的是给出高余维下的定量等周不等式的证明。对于光滑闭(n-1)维子流形\(\Gamma\子集R^{n+k}\),此定量等参不等式的形式为\(\mathbf D(\Gamma)\ge C \mathbf D ^2(\Gamma)\)。

在这里,\(\mathbf D(\Gamma)\)代表\(\Gamma\)的\({\it等围间隙}\),即\(\Gamma\)的度量偏差,而不是一个圆球。更精确地说,等周间隙的定义是

\ (\ D mathbfγ(\ \):= \(\压裂{H ^ {n}(\γ)- H ^ {n}部分D_(\ \ρ)}{H ^ {n}部分D_(\ \ρ)}\),

其中\(D_\rho\)是一个位于\(R^{n+k}\)中的n维平面盘,其面积与由封闭曲面\(\Gamma\)跨成的最小n维曲面\(Q(\Gamma)\)面积相同,即\(H^n(D\rho)= H^n(Q(\Gamma))\)。数量\(\mathbf d(\Gamma)\)代表frenkel不对称指数的自然推广到更高的协维。\({\it不对称指数}\)\(\mathbf d(\Gamma)\)的精确定义更加技术性,需要使用几何度量理论中的某个半模。然而,潜在的几何思想是相当自然的,可以描述如下。

给定任何平面圆盘\(D_\rho\),其面积与最小n维面\(Q(\Gamma)\)带边界\(\Gamma\)的面积相同,考虑一个由边界分量\(\Gamma\)和\(\partial D_\rho\)跨越的最小圆柱形面\(\Sigma (D_\rho)\),然后在所有可能的圆盘\(D_\rho\)中取表面积的最小值\(H^n(\Sigma (D_\rho))\;这是一个定义

\ (\ d mathbfγ(\ \):= \ \(ρ^ {n} \正\大\ {H ^ n(\σ(D_ \ρ)):H ^ n (D_ \ρ)= H ^ n (Q(\γ)大\ \}\)。

为了使上述定义更加严格,我们必须使用几何测度理论的框架。

在讲座中,所有与几何测量理论相关的对象都将被解释。并给出了定量等周不等式的证明。有测量理论的基本知识(参见Evans & Gariepy的书)是跟随讲座的必要条件。

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