演讲(标题和摘要)

主要内容

纪尧姆·巴尔:应用于医学成像的偏微分方程超定系统

最近的几种耦合物理医学成像模式旨在将高对比度、低分辨率的模式与高分辨率、低对比度的模式相结合,以实现高对比度和高分辨率。这种模态通常涉及从参数的内部泛函和PDE解的知识中重建偏微分方程(PDE)的本构参数。这可以被重新定义为求解非线性偏微分方程的超定系统,约束(方程)的数量取决于可用测量的数量。
这次演讲介绍了几个这样的系统的唯一性、稳定性和明确的重建程序的最新结果。特别是,我们提供了什么可以和不可以重建的明确特征,并为出现在一大批耦合物理成像模式中的系统提供了稳定性估计。数值模拟也证实了这些新型模态的高分辨率、高对比度和潜力。

Luis Caffarelli:一个非局部的隔离问题

我将讨论一个非局部分离模型,其中物种在一定距离上相互作用:存在性,自由边界条件和一些规律性结果。

Rupert Frank:分数拉普拉斯函数径向解的唯一性

我们讨论了在任何空间维数下包含分数阶拉普拉斯方程的线性和非线性方程的径向解的唯一性。我们证明了具有径向非递减势的分数阶薛定谔算子的径向特征值是简单的,并且一类方程的非线性基态是非简并唯一的(直到平移为止)。证明的一个重要步骤是用Cabre和Sire的单调性公式。
本次演讲基于与E. Lenzmann和L. Silvestre的合作。

Cyril Imbert:一个非局部多孔介质方程

不同的作者最近研究了不同的非局部多孔介质方程。这次谈话是关于其中之一的;特别是,,紧支持的自相似解,称为巴伦布拉特解,展示,并解决柯西问题。

Kay Kirkpatrick:分数阶薛定谔动力学和退相干

我们严格地证明了生物物理学文献中提出的某些分数阶非线性薛定谔方程(NLS),证明了一类一般的离散非线性薛定谔方程(DNLS)是由分数阶拉普拉斯方程在连续极限中描述的。我们还研究了这些NLS模型的动力学特性,包括有趣的效应,如退相干和湍流。

Robert V. Kohn:无概率预测:机器学习模型问题的PDE方法

在机器学习文献中,一种“预测”方法假设有两个或两个以上的“专家”;在这种情况下,最好的预测是“最大限度地减少遗憾”,即最大限度地减少相对于表现最好的专家的差距。我的演讲的动机是Rina Panigraphy, Michael Kapralov和Alexandr Andoni最近考虑的一个模型问题,涉及到二叉序列的预测(简单地说:一个股票的价格被限制在一个二叉树)。我将与朱康平讨论关于连续极限的联合工作,其中最优策略与二阶偏微分方程相关。虽然偏微分方程是非常非线性的,但在许多情况下,由于与线性热方程的惊人联系,显式解是可用的。这里所考虑的连续极限与我2006年与西尔维娅·瑟法蒂(Sylvia Serfaty)在曲率对运动的确定性博弈解释方面的工作有关。

Gilles Lebeau:严格凸域内波的Strichartz估计

我将提出关于严格凸域内波动方程解的Strichartz估计的有效性范围的最新结果。这些估计结合了插值参数与精确的参数结构。这项工作是与O. Ivanovici, F. Planchon和R. Lascar合作。它扩展了O. Ivanovici和F. Planchon在“严格凸域中波的弥散I: Friedlander案例”(Annals of Math, 180 (1), p. 323—380,2014)中获得的先前结果。

Enno Lenzmann:非局部色散的最小质量爆炸

对于具有聚焦质量临界非线性的非线性色散偏微分方程(例如二维的立方聚焦偏微分方程),已知“大”和“小”数据之间的阈值由所谓的基态最小质量决定。在NLS的设置中,F. Merle根据NLS的伪共形对称性,完成了最小质量有限时间爆破解的完整动力学分类。然而,这种对称性对于经典的Schrödinger方程是非常特殊的,对于一般的色散偏微分方程是没有对应的。在我的演讲中,我将讨论一种基于混合能量/Morawetz和平滑估计的证明最小质量爆炸解的存在性和唯一性的新的更健壮的策略。特别地,将该策略应用于一维空间的三次半波动方程,以证明最小质量爆破的存在。如果时间允许,我还将讨论这些放大解决方案的完整分类。
这次演讲是基于与J.克里格和P.拉斐尔的合作。

Andrea Malchiodi:刘维尔方程的变分方法

我们考虑从曲率处方问题和从电弱和陈-西蒙斯理论模型中产生的刘维尔方程。我们展示了Moser-Trudinger不等式的改进版本,结合最小-最大理论,可以将这些偏微分方程减少到有限维对象的研究。

Svitlana Mayboroda:本征函数的局部化和相关的自由边界问题

波局部化现象渗透到声学、量子物理学、弹性力学、能源工程等领域。它被用于建筑降噪墙,led,光学设备。电子量子态的Anderson局域化与谐波分析、概率分析一样,已成为量子物理学的重要课题之一。然而,没有任何方法可以预测局部波的具体空间位置。
在这次演讲中,我将介绍最近的结果,揭示了椭圆算子本征函数空间局部化的普遍机制,以及新兴的算子理论/分析/几何测度理论方法和技术。我们证明了对于任何有界域上的任何算子,都存在一个“景观”,它将域划分为不相交的子区域,并指示局部本征模的位置、形状和频率。特别是,景观将定位与某个多相自由边界问题、最小化的规律性和自由边界的几何联系起来。
这是与D. Arnold, G. David, M. Filoche和D. Jerison合作的成果。

Giuseppe Rosario Mingione:非局部自改进性质

自改进性质是证明椭圆型和抛物型方程解正则性结果的基本工具。这方面的一个典型结果是所谓的葛林引理,它断言了反向霍尔德不等式的自我改进特性。当把注意力转向非局域问题时,新的现象出现了,而在经典局域情况下不成立的更强的结果却成立了。我将简要介绍这些事实,这些事实来自与Tuomo Kuusi和Yannick Sire的联合论文。

Hoai Minh Nguyen:拓扑度和相关问题的估计

在这次演讲中,我首先讨论了从球面到自身映射的拓扑程度的估计。其次,我提出了基于与这些估计相关的非局部、非凸泛函序列的点收敛的Sobolev空间的刻画。最后,我还将讨论 在去噪问题中,这些函数与各种滤波器之间的联系。这次演讲是基于与Jean Bourgain和Haim Brezis的合作。

玻色子平均场动力学的相空间方法:综述

在回顾了过去或最近关于玻色子量子场论和平均场问题的观点后,将总结与Z. Ammari合作的一系列工作。这种相空间表示实现了无限维微局部分析的古老梦想。特别是平均场动力学只是半经典状态下奇异结果的传播。本次演讲将重点介绍与无限维设定相关的关键问题和新的研究成果。对于这种方法所提供的平均场问题。

Jean-Michel Roquejoffre:快速扩散线加速反应扩散前沿

在此,我们讨论了一个新的模型来描述在一条线上发生强扩散时平面内的生物入侵。所谓“强扩散”,我们指的是拉普拉斯数的一个大倍数,或拉普拉斯分数。问题是在直线和平面上扩散的渐近速度(当时间趋于无穷时)。在标准扩散的情况下对线,而对于低扩散,线没有影响。相反,超过一个阈值,这条线增强了平面上的全局扩散。当在直线上的扩散是由分数拉普拉斯量给出时,这就更加引人注目了:传播在时间上是指数的。

Xavier Ros Oton:分数拉普拉斯的Pohozaev恒等式

本讲座的目的是提出分数拉普拉斯算子的Pohozaev恒等式。在与Joaquim Serra的共同工作中,我们建立了非局部Dirichlet问题(−Δ)su=f(x,u) In Ω, u≡0 In \Rn∖Ω的每一个有界解满足的新恒等式。此外,作为这个恒等式的结果,我们还发现了有界区域内分数阶拉普拉斯式的一个新的分部积分公式。
为了建立这个等式,我们需要证明,如果u是一个有界解,那么u/ds∣∣Ω是Cα,直到边界\partiaΩ,其中d(x)=dist(x,∂Ω)。
在分数阶Pohozaev恒等式中,函数u/ds∣∣∂Ω所扮演的角色就像经典恒等式中的∂u/∂ν一样。

Armin Schikorra:积分-微分调和映射

我将给出证明非局部,简并积分微分能量流形的临界点的正则性理论的结果和想法,这些流形与p调和映射有关。

Israel Michael Sigal:磁涡,Nielsen-Olesen - Nambu弦和自同构函数

金兹堡-朗道理论最初是为了理解超导体的行为而发展起来的,但对物理学的深远影响远远超出了它原来的领域。它第一次证明了希格斯机制,并成为基本粒子物理学标准模型的基本组成部分。该理论基于复杂函数(称为序参量或希格斯场)和矢量场(磁势或规范场)的一对耦合非线性方程。它们是物理和数学中出现的一大批方程的最简单的代表。除了在物理上的重要性之外,这些方程还包含了漂亮的数学(其中一些数学是A.图灵在解释动物皮毛图案时独立发现的)。在这次演讲中,我将回顾最近涉及这些方程的关键解的结果-磁涡(在粒子物理学中称为Nielsen Olesen或Nambu弦)和涡格,它们的存在性,稳定性和动力学,以及它们如何与出现在数论和代数几何中的修正θ函数相关。Certain 自同构函数在所描述的理论中起着关键作用。

Gunther Uhlmann:部分数据的边界刚性

我们将考虑通过测量波通过介质的传播时间来确定介质的声速或折射率的反问题。这个问题在地球物理学和医学成像等领域的一些应用中出现。

这个问题可以被重新定义为一个几何问题:可以通过测量边界点之间的距离函数来确定带有边界的黎曼流形的黎曼度规吗?这就是边界刚性问题。我们还将介绍一些最近的结果,与Plamen Stefanov和Andras Vasy一起,在部分数据的情况下,在边界的一个子集上进行测量。

Enrico Valdinoci:晶体中的位错动力学

我们考虑了晶体位错的Peierls-Nabarro模型中的一个演化方程。我们用分数拉普拉斯型分析技术研究了位错函数的演化。我们表明,在宏观尺度上,位错倾向于集中在晶体的单点,其中滑移的大小与介质的自然周期性相吻合。这些位错点根据外部应力和内部排斥势而演变。
本文的成果是与S. Dipierro, A. Figalli, G. Palatucci合作获得的,并扩展了R. Monneau和m.d.m. Gonzalez之前的作品。

拉普拉斯方程(分数阶)Lipschitz解的可移动集的描述

我们考虑Rn函数u中的Lipschitz,它是Rn∖E中Deltaau=0的解,且1/2

Michael I. Weinstein:蜂巢结构,狄拉克点和边缘态

简要回顾了蜂窝结构中波的研究结果——色散面中的锥点/狄拉克点,有效狄拉克方程,…然后,我们介绍了最近的工作,“拓扑保护”边缘状态的一类周期结构与狄拉克点,由一个域壁扰动。这种状态在凝聚态物理和光子学中许多系统的能量稳定转移中起着核心作用。
与C.L. Fefferman和j.p Lee-Thorp合作

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