演讲(标题和摘要)

主要内容

标题和摘要

斯科特·阿姆斯特朗:周期均匀化的解析正则性与定量唯一延拓
我将解释如何找到周期椭圆方程的“解析正则性”(在某种意义上要解释),并使用它来获得最优的定量唯一延续。这是基于与Kuusi & Smart的合作。

今后Almut:重排上的平均振荡界
重排被广泛用于简化函数和集合的形状:经典不等式确保它们收缩L^p距离,减少梯度规范,并减少整体振荡。然而,重排是如何作用于有界平均振荡(BMO)和消失平均振荡(VMO)空间的尚不清楚;除了维度1之外,没有明显的不等式。我将讨论一些新的边界、连续性结果和开放问题。(基于与Galia Dafni和Ryan Gibara的合作)。

法比奥·卡瓦莱蒂:奇异空间中的不确定性估计和节点集的大小

Matteo Cozzi:进化晶体位错模型的长期渐近
在这次演讲中,我将讨论一个关于演化Peierls Nabarro型方程解的长期行为的最新结果,与晶体位错有关。我将给出解的构造,在很大程度上,这些解的行为就像一个任意数目的基本位错的叠加,在根据斥力动力系统演化的点附近,方向相同,中心相同。这一结果是与巴斯大学的J. Davila和M. del Pino合作获得的。

Juan Dávila: Keller-Segel系统在临界质量情况下的爆炸
我们在平面上考虑具有适当衰减和质量为8的初始条件的Keller-Segel函数,它对应于有限时间爆炸和自相似向零扩散之间的阈值。我们找到了一个质量为8的径向函数u0,使得对于任何足够接近u0的初始条件,解是全局定义的,并且在无限时间内爆炸。我们还找到了爆炸的轮廓和速度。这一结果肯定地回答了Ghoul和Masmoudi(2018)提出的非径向稳定性问题。

丹妮拉•德•席尔瓦:单相自由边界问题的非齐次全局极小化
给定一个全局1-齐次极小化器\(U_0\)到Alt-Caffarelli能量泛函,带有\(sing(F(U_0))子集\{0\}\),我们提供了一个半空间的叶状结构(\R^{n} \times [0,+\infty)\)和全局极小化器的扩张(\underline U\ leq U_0\ leq \bar U\)与原点距离为1的解析自由边界。这是D. Jerison和H. Shahgholian的合作作品。

哪种磁场支持零模式?
基于数学物理中关于三维狄拉克方程的零模磁场大小的问题,我们研究了一个确定的共形不变性自旋方程。我们提出了一些猜想并给出了支持它们的结果。其中特别涉及到两个关于旋量和矢量场的新的Sobolev不等式。这次谈话是基于与迈克尔·洛斯的合作。

Nicola Fusco:凸集外的相对等周不等式中的相等情况
2007年Choe, Ghomi和Ritore证明了凸集外的相对等周不等式\(C\)。更精确地说,他们表明,如果\(E\子集{\mathbb R}^N\集合- C\)有有限的质量\(m\),那么\(E\)外\(C\)的周长等于含有质量\(m\)的半球的表面测量值。此外,他们还表明,如果\(C\)是光滑的,并且等式在这个等周不等式中成立,那么\(E\)就是一个位于\(C\)上的半球。在这次谈话中,我将讨论相等的情况,当\(C\)是任何凸集,不一定是光滑的。这是我和莫里尼的合作作品。

Mohammad Ghomi: Cartan-Hadamard流形中的总曲率和等周不等式
我们得到了黎曼流形上函数水平集的总曲率比较的显式公式,并将此结果推广到非正曲率空间中的等周问题。

朗道-库仑方程在时间上的部分正则性
本文讨论了朗道-库仑方程弱解的部分正则性。已知,如果弱解在某定义域有界,那么它是光滑的。因此,我们考虑解不具有局部有界的时间。我们证明了这种奇异集的Hausdorff维数最多为1/2。它是基于与F. Golse, M. Gualdani和a . Vasseur的合作。

Enno Lenzmann: R上非局部Liouville方程的唯一性
在一维规定q曲率问题中,出现了R中的非局部刘维尔方程。我们证明了广义q曲率函数解的唯一性。我们的方法结合了由完全可积的卡洛热-莫泽系统产生的非线性Schrödinger方程的单调公式和与孤子有关的变分结构。这是和Maria Ahrend的合作。

高原表面的对称性结果
通过一种新颖的平面移动方法,我们将光滑极小曲面的一些经典对称性和刚性结果推广到具有典型的肥皂薄膜中所观察到的那种奇异的曲面。这篇演讲是基于与约翰霍普金斯大学的雅各布·伯恩斯坦的合作。

伊曼纽尔·米尔曼:log-Minkowski问题
经典的闵可夫斯基问题要求在\(\mathbb{R}^n\)中找到一个具有规定表面积的凸体\(K\),这可以归结为在单位球面上求解Monge-Ampère方程\(S^{n-1}\)。Minkowski、Alexandrov、Lewy、Nirenberg、Cheng—Yau、Pogorelov、Caffarelli等人对其存在性和规律性进行了广泛研究;唯一性(直到翻译)是经典的Brunn—Minkowski不等式的直接结果。一个类似的\(L^p\)版本的一般\(p \in \mathbb{R}\)(与经典的情况对应\(p=1\))是由E.~Lutwak建议和公布的。

\(L^p\)-闵可夫斯基问题与许多其他领域有关:

非线性PDE:它是\(S^{n-1}\)上的Monge-Ampère——类型方程。
几何流:它描述了各向异性\(\alpha\)-高斯曲率幂流的自相似解(for \(\alpha = \frac{1}{1-p}\))。
变分微积分:它是\(L^p\)-闵可夫斯基泛函的欧拉-拉格朗日方程。
布伦-闵可夫斯基理论:它与古典的布伦-闵可夫斯基不等式的加强有关。
最优传输:重要的“对数”情况\(p=0\)描述了一个关于成本\(c(x,y) = \log \frac{1}{\标量{x,y}_+})在\(S^{n-1})上的最优传输映射的卡勒-爱因斯坦型方程。

由于缺乏对应的\(L^p\)-布伦—闵可夫斯基理论,所以情况\(p \geq 1\)很容易理解,但情况\(p < 1\)更具有挑战性。特别地,一般来说没有唯一性是可能的,但由Boroczky—Lutwak—Yang—Zhang推测,对于\emph{起源对称}凸体(\mathcal{K}_e\),唯一性在\(L^p\)-Minkowski问题中应该对所有\(p \ In[0,1)\)保持。同样,\(L^0-\) (log-)Minkowski泛函在\(\mathcal{K}_e\)上应该有唯一的全局最小值,log- brunn -Minkowski不等式应该保持\(\mathcal{K}_e\),各向异性高斯曲率流应该有唯一的原点对称自相似解。

我们报道这一猜想的最新进展。特别地,我们解决了log-Minkowski问题的同态版本,并将Brendle—Choi—Daskalopoulos关于幂高斯曲率流自相似解唯一性的结果从各向同性推广到压缩各向异性情况(对于原点对称解)。我们主要的新工具是把这个问题解释为中心-仿射微分几何中的一个谱问题。

Matteo Novaga:非局部曲率流动:已知结果和开放问题
我将介绍非局部的,特别是分数阶的平均曲率流,展示艺术的状态,并讨论一些开放的问题。

Stefania Patrizi:从Peierls-Nabarro模型到位错连续体的运动方程
我们考虑与半拉普拉斯算子有关的一维半线性积分-微分方程,其解表示晶体中的原子位错。该方程包含了经典Peierls-Nabarro模型的演化版本。我们表明,对于大量的位错,适当缩放后,解收敛于一个著名的方程,被Head称为“位错连续体运动方程”的解。该极限方程是位错密度对宏观晶体塑性的影响模型。特别地,我们恢复了所谓的奥罗万定律,即位错的移动速度与有效应力成正比。这是和Tharathep Sangsawan合作的作品。

Angkana Rüland:论逆问题中的不稳定机制
众所周知,许多PDE驱动的逆问题是众所周知的不适定问题。在这次谈话中,我将讨论三种鲁棒不稳定机制,基于强全局、弱全局和仅微局部的前向算子平滑性质。这些方法适用于各种反问题,包括椭圆问题、抛物线问题和双曲线问题。这次演讲基于与赫伯特·科赫(波恩大学)和米科·萨洛(Jyväskylä)的合作。

Ovidiu Savin:多膜问题
对于正整数N, N膜问题描述了N阶弹性膜在外力和边界条件作用下的平衡位置。如果膜的高度用实函数u_1, u_2,…,u_N,则该问题可以理解为N-1个耦合障碍问题系统,具有相互作用的自由边界,可以相互交叉。当N=2时,只有一个自由边界,该问题等价于经典的障碍问题。我将和余晖讨论一个关于N=3,有两个相互作用的自由边界的案例的合作作品。

Henrik Shahgholian:障碍问题和奇异点的全局解决方案
椭球壳在壳腔内不产生引力,这一点为牛顿、拉普拉斯和象牙所知。
在30年代初,P. Dive证明了这个定理的逆定理。在这次演讲中,我将回顾这一事实的(部分几何)证明,然后将这个结果推广到无界区域。
由于椭球和椭球序列的任何极限都是障碍问题的所谓符合集,因此椭球势理论与障碍问题的全局解之间有密切的联系。
在这次演讲中,我们提出了一个完整的分类(根据椭球的极限域)在维数大于5的障碍问题的全局解。这一结果的有趣分支是对奇异点附近规则自由边界结构的一种新的解释。
这是与S. Eberle和G.S. Weiss合作的成果。
欲知更多详情及参考资料,请参阅:https://www.scilag.net/problem/P-200218.1


路易斯·西尔维斯特:无截断的玻尔兹曼方程的正则性估计
研究了不带截止的非齐次玻尔兹曼方程的正则化效应。我们得到的所有导数的先验估计只取决于其流体动力学量的边界:质量密度,能量密度和熵密度。因此,方程的经典解可能在一段时间T后不存在,只有当这些流体力学量中至少有一个爆炸。我们的分析适用于适度软硬势的情况。我们使用了起源于研究非局部椭圆和抛物方程的方法:De Giorgi式的弱Harnack不等式和Schauder-type估计。

流形上薛定谔算子的本征函数和聚类估计
我将描述关于具有临界奇异势流形上薛定谔算子的本征函数、簇和准模的几个估计的最新结果。这样的结果导致了具有势波动方程的时空估计,是谐波分析中限制定理的离散版本。我也将陈述一些开放性问题。

Susanna Terracini:通过空间分离形成的模式
我们首先考虑密度在距离上相互排斥的变分问题。用狄利克雷泛函的极小化者或瑞利商给出了例子
\ (D ({\ bf u}) = \ sum_ {i = 1} ^ k \ int_{\ω}| \微分算符u_i | ^ 2 \四\文本{或}\四R ({\ bf u}) = \ sum_ {i = 1} ^ k \压裂{\ int_{\ω}| \微分算符u_i | ^ 2} {\ int_{\ω}u_i ^ 2} \)
在\(H^1(\Omega,\R^k)\)类函数上达到一些关于\(\partial \Omega\)的边界条件,并受约束

\ \ dist (\ {u_i > 0 \}, \ {u_j > 0 \})给所有我\ \通用电气1 \ qquad \ neq j \)。

作为第二类问题,我们考虑具有不同度量的狄利克雷能量的能量最小化

\ (D ({\ bf u}) = \ sum_ {i = 1} ^ k \ int_{ω\}\ \倒三角u_i langle A_i, \微分算符u_i \纠正\)

与约束

\ (u_i (x) \ cdot u_j (x) = 0,所有x的\ qquad \ \ \ω\;,所有我的\ \ neq j \)。

对于这些问题,我们研究了解的最优正则性,证明了一个自由边界的极值条件,并得到了一些表征出现的自由边界的初步结果。

引用:

刘志强,刘志强,刘志强。基于多尺度空间的变分问题研究。配给。动力机械。《肛门》228 (2018),no。743 - 772 (http://arxiv.org/abs/1701.05005

N. Soave和S. Terracini,一个各向异性单调城市公式,及其在分离问题中的应用,预印本(2020),(http://arxiv.org/abs/2004.08853


魏俊成:斯特鲁分解的最优定量估计
假设\ (u \ \点{H} ^ 1 (\ mathbb {R} ^ n) \)。在一个重要的工作中,斯特鲁证明了如果\(u\geq 0\)和\(\Gamma(u):= |\Delta u+u^{u\ frac{n+2}{n-2}} |_{H^{-1}}到0$),那么\(dist(u,\mathcal{T})到0$),其中\(dist(u,\mathcal{T}))表示\(\dot{H}^1(\mathbb{R}^n))的距离(u\)到Talenti气泡和流形的距离。Ciraolo, Figalli和Maggi得到了在所有维度上都有一个气泡的斯特鲁分解的第一个定量版本,即\(dist (u,\mathcal{T}) \leq C \Gamma (u)\)。对于具有两个或多个气泡的Struwe分解,Figalli和Glaudo显示了一个显著的维度相关的定量估计,即\(dist(u,\mathcal{T})\leq C \Gamma(u)\)当\(3\leq n\leq 5\)而这是假的\(n\geq 6\)。在这次谈话中,我将讨论以下非线性定量估计
\ [dist (u, \ mathcal {T}) \ leq C \开始{病例}\γ(u)左| \ \日志\γ(u) \右| ^{\压裂{1}{2}}\四\ textit{如果}n = 6 \ \
| \γ(u) | ^{\压裂{n + 2} {2 (n - 2)}} \四\ textit{如果}\ n组7 \{病例}结束\]。
此外,我们还证明了这个不等式是尖锐的。(与邓b、孙l合作)

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