事件

也许一维动力学(无论是真实的还是复杂的)的主要特征之一是形变理论的丰富。这意味着这种映射的拓扑类通常是无限维流形，但具有有限的余维数。它们在结构上“几乎”稳定!此外，对于给定拓扑类内映射的光滑族，相关的共轭族也以光滑的方式移动。在重整化理论和线性响应理论的研究中有各种各样的应用。在复杂动力学中有一个很好的理论，但对于区间上有限平滑的真实映射，我们目前的理解远远落后于复杂的设置。我们将讨论在与Clodoaldo Ragazzo的联合工作中取得的最新进展，以及与Viviane Baladi和Amanda de Lima的一些成果。遍历理论将是一个重要的工具。

环面接触流形提供了一类有趣的接触流形。在这个迷你课程中，我们将介绍它们，展示如何用某些称为环面图的积分凸多面体来确定零一陈氏类，以及如何直接从这些环面图中读取相关的接触不变量。将提供大量实际操作的示例和一些应用程序。

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众所周知，如果样本量n很小，维度p(中等)大，或者信噪比1/\sigma很大(观察到标签的概率接近0或1)，逻辑回归估计器会膨胀其系数的大小。考虑到这一点，我们研究p << n/\log n的逻辑回归估计器，假设高斯协变量和高斯链接函数生成的标签，对估计量的长度进行了温和的优化约束，以确保存在性。我们为它的方向提供有限的样本保证，它作为分类器，它的欧几里得范数是信噪比的估计器。我们区分两种政体。在低噪声/小样本情况下(n\sigma <= p\log n)，我们证明了估计器的方向(以及相应的分类误差)达到了速率(p\log n)/n -就好像问题是无噪声的一样。在这种情况下，估计量的范数至少是n/(p\log n)阶。如果n\sigma >= p\log n，则估计量的方向达到速率\sqrt{\sigma p\log n/n}，而其范数以速率\sqrt{p\log n/(n\sigma^3)}收敛到真范数。作为一个推论，在这种情况下，数据不是高概率线性可分的。逻辑回归估计器允许得出哪种状态发生的概率高。因此，在n\sigma >= p\log n的范围内，逻辑回归的推理是可能的。在任何一种情况下，逻辑回归都提供了一个有竞争力的分类器。这是和Sara van de Geer合作的作品。

我将尝试从三个部分给出答案。首先，我将论证膜在量子场论中作为边界条件自然出现，特别是，我们将观察拉格朗日膜如何在拓扑a模型中成为合适的边界条件。我们将继续快速入门“101”广义复杂几何适当加强我们的理解膜在数学意义上。有了适当的语言，我们将通过三个半示例，其中一个是将Kähler度量作为膜的新视角(是的，度量可以是膜)。如果时间允许，我们将快速回顾一下膜在镜像对称理论中所扮演的角色(参见斯特罗明格-尤-扎斯洛)。

给定光滑曲线的空间参数化分支覆盖(具有一些给定的属、度和分支剖面数据)，有两种众所周知的紧化——Harris和Mumford的可容许覆盖和(相对的)Gromov-Witten理论的稳定映射。这两种紧化都可以在稳定曲线的模空间上得到环。我将描述正在进行的工作，给出一种在两种紧化产生的循环之间进行转换的方法。本次演讲的部分内容是与赵琦的合作。

我们将简要回顾无限维双曲空间中群的表示。特别地，我们将研究SL2(R)表示族，介绍一种类似于凸组合的运算，并给出部分分类。

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告别演讲

衍生微分几何背后的主要动机之一是处理由子流形的零轨迹或交点产生的奇点。这两种情况都可以看作流形的纤维产物，在经典微分几何中流形可能不是光滑的。因此，我们需要将可微流形的范畴扩展到一个更大的范畴，在这个范畴中我们可以讨论“同伦纤维产品”。在这次演讲中，我们将讨论一个解决这个问题的dg流形。本次讲座主要基于与Kai Behrend和Hsuan-Yi Liao的合作作品。

环面接触流形提供了一类有趣的接触流形。在这个迷你课程中，我们将介绍它们，展示如何用某些称为环面图的积分凸多面体来确定零一陈氏类，以及如何直接从这些环面图中读取相关的接触不变量。将提供大量实际操作的示例和一些应用程序。

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在本演讲的第一部分，我们将回顾深度学习的构建模块，将学习问题构建为通过梯度下降在实践中解决的优化问题。第一部分将是非常容易接近和独立的。然后，我们将尝试传达深度学习在其解决方案空间的极端复杂性下工作得如此之好是多么令人惊讶，指出存在一种隐式正则化机制，它会在更复杂的解决方案表现不佳之前选择最简单的解决方案。最后，我们将概述最近的一种方法，试图揭示基于梯度下降方案的后向误差分析的隐式正则化机制。

近年来，优化领域最重要的发展是对高阶方法能力的澄清。与低阶方法相比，这些方案可能具有更高的收敛率。然而，几十年来，它们以实际有效算法的形式实现的可能性是值得怀疑的。在这次演讲中，我们讨论了在这个方向上前进的不同可能性，避免了对张量方法的所有标准恐惧(内存需求，计算张量分量的复杂性等)。此外，我们还得到了新的有记忆的二阶方法，证明其收敛速度比传统的复杂度理论给出的上限更快。

在这次演讲中，我将描述Hewitt和Savage定理的一个变体，用于随机变量的可交换有限族定律及其边际。这种表示揭示了一些包含相关校正项的测度的普适多项式的作用，并捕获了对称律的极值点及其边缘的几何形状。我还将描述对一些具有对称性的多边缘最优问题的可能应用。这是基于Gero Friesecke和Daniela Vögler(慕尼黑工业大学)的联合工作。

我们将首先根据体积和能量的直观概念定义神经网络的几何复杂性概念。在简单一维神经回归的情况下，训练序列的可视化将激发这一点。然后，我们将解释为什么对于神经网络，优化过程会产生压力，以保持网络的低几何复杂度。此外，我们将看到神经网络训练中许多其他常见的启发式方法(从初始化方案到显式正则化策略)也有一个副作用，即保持所学解的几何复杂性较低。最后，我们将解释这如何指向在深度学习中常用的训练和调优启发式中构建的谐波映射形式的偏好。

我将讨论为理解随机丢番图方程的溶解度所做的努力，重点介绍最近与Sofos和Teräväinen共同研究的关于在整数上定义的随机范数形式方程的积分Hasse原理。