并行会话

David Bate:通过任意小扰动的可整流性

贝西科维奇-费德勒投影定理是描述具有有限n维Hausdorff测度的欧几里得空间的n个可整流子集的基本结果。然而，最近的研究表明，它在任何无限维巴拿赫空间中都显著失败，因此在这种情况下，很自然地要求其他特征。最近，Pugh给出了欧几里得空间的Ahlfors n正则子集的投影定理的“局部化”版本。它涉及到在Lipschitz映射下(在均匀度规中)将一个纯n-不可整流集的Hausdorff测度简化为一个任意小的值。

本讲座将把这个结果推广到各种巴拿赫空间。与经典的投影定理不同，这些定理不依赖于线性结构，因此，通过适当的嵌入，可以纯粹地用度量空间的语言表述。作为一个推论，我们得到了经典投影定理在度规设置下的一些简单的结果。

Maria Colombo:输运方程的结构和Vlasov-Poisson系统

输运方程描述了粒子沿一个规定的光滑向量场的流动的分布的演化。对其解的精确描述，即使在放弃光滑性假设的情况下，也是由几个应用所驱动的，其中包括动力学方程的研究，如Vlasov-Poisson系统。

给定一个矢量场\(R^d\)，当矢量场足够光滑时，经典Cauchy-Lipschitz定理证明了其流的存在唯一性;这又转化为传输方程的存在性和唯一性结果。1989年，Di Perna和Lions证明了具有有界发散和生长假设的向量场的Sobolev正则性足以建立一个广义流概念的存在性、唯一性和稳定性，该概念由相关ODE的轨迹之间的适当选择组成。他们的理论依赖于一个增长假设，该假设防止了轨迹在有限时间内爆炸。在本次研讨会中，我们对这个主题进行了概述，并引入了一个新的概念，即非光滑向量场的最大流，它允许轨迹的有限时间爆破。我们展示了仅在向量场上的局部假设下传输方程的结构结果，并将它们应用到Vlasov-Poisson系统中，在那里我们描述了由合适的流传输的解。

卡塔赫纳:自收缩曲线:最新发展和应用

引入自收缩曲线，为欧几里得环境下凸和拟凸梯度动力系统的研究提供了统一的框架。然而，自我收缩的定义纯粹是度量的，不需要任何规律性，无论是在空间上，还是在曲线上。在这篇说明性的演讲中，我们将回顾有关这一概念的动机、主要思想和结果，为未来的发展呈现当前的艺术状态。

丹尼尔·法拉科:麝香猫问题的混合解决方案

Muskat问题描述了通过多孔介质的两种流体间相的演化过程。理论是非常不同的，取决于较重或较轻的流体是在彼此的顶部。上面较重的流体在索伯列夫空间中是不恰当的。尽管如此，仍有许多结果和数值实验表明，与指法现象有关的所谓混合区存在。在这次演讲中，我将描述凸积分和轮廓动力学如何结合产生一个任意初始间相的弱解的存在性。这是与安赫尔·卡斯特罗和迭戈·科尔多瓦的合作作品。

不可压缩欧拉方程的Onsager猜想的证明

为了解释流体动力湍流中能量的反常耗散是如何发生的，Onsager在1949年推测，如果不可压缩欧拉方程的空间规律性低于1/3-Hölder，那么其弱解可能无法表现出能量守恒。我将讨论这个猜想的证明，它表明有非零(1/3-\epsilon)-Hölder三维欧拉流在时间上具有紧支持。该构造基于一种称为“凸积分”的方法，该方法起源于Nash关于低余维和低规律性的等距嵌入的工作。该方法的一个版本首先由De Lellis和Székelyhidi针对不可压缩的欧拉方程开发，以建立Hölder-continuous欧拉流，不能保存能量，后来由Isett和Buckmaster-De Lellis-Székelyhidi改进，以获得进一步的Onsager猜想的部分结果。完整猜想的证明结合凸积分使用Daneri-Székelyhidi介绍的“Mikado流”和一种新的“粘合近似”技术。后一种方法利用了不可压缩欧拉方程线性化中的一种特殊结构。

Alexandru Kristaly: corank 1卡诺群上的内雅可比行列式不等式

我们在与最优质量运输相关的corank 1卡诺群上建立了一个加权点态雅可比行列式不等式，类似于Cordero-Erausquin、McCann和Schmuckenschläger的工作。在我们的表达式中出现的权重是变形系数，它反映了我们空间中微妙的亚黎曼结构，包括异常测地线的存在。我们的不等式在某种意义上在欧氏结构和次黎曼结构之间插值，分别对应于沿异常测地线和严格正态测地线的质量输运。作为应用，建立了熵、Brunn-Minkowski和Borell-Brascamp-Lieb不等式。这次演讲是基于与Z. M. Balogh和K. Sipos的合作。

Tuomo Kuusi:椭圆均匀化的加性结构

随机均匀化的主要困难之一是将定量的遍历信息从系数传递到解，因为后者是前者的非局部函数。在这次演讲中，我将用一种新的方式来解决这个问题，在散度形式的线性椭圆方程的背景下，通过展示与解的能量密度相关的某些量本质上是可加的。结果证明了一阶校正器的定量估计在标度和随机可积性上都是最优的。可加性的证明是一个bootstrap论证:使用最近为随机均匀化发展的规律性理论，当我们通过越来越大的长度尺度时，我们加速解的能量密度、通量和梯度的弱收敛，直到它在CLT尺度饱和。这是S.阿姆斯特朗和j . c的合作作品。Mourrat。

Kazumasa Kuwada: RCD (0,N)空间上w熵的单调性和刚性

w熵是由G. Perelman在他关于利玛窦流的开创性工作中引入的，这个概念是由L. Ni引入的(时间齐次的)黎曼流形。证明了在具有非负里奇曲率的黎曼流形上，w熵沿热流沿时间是单调的。此外，这种单调性还具有刚性，因为时间导数的消失只会在非常特殊的情况下发生。的确，这个空间一定是欧几里得的。
在本次演讲中，我们给出了具有非负里奇曲率和上维界的“黎曼”度量测度空间(更准确地说，是RCD (0,N)空间)的相应结果。由于缺乏常用的可微结构，我们必须开发新的方法。作为我们新方法的一个副产品，我们的结果的某些部分甚至在黎曼流形上也是新的。此外，我们可以在刚性的RCD (0,N)类空间中找到更多的空间。
这次演讲是基于与x - d的合作。李(中国科学院)。

Cyril Lecuire:双曲3流形的变形、收敛和局部拓扑

变形空间AH(M)可以看作是紧双曲3流形M的Teichmüller空间的类似物。但是，与Teichmüller空间相比，AH(M)的拓扑是相当复杂的。我将解释AH(M)的一些拓扑特征，并解释它们如何与M的端点不变量的行为相关。这是与R. Canary、J. Brock、K. Bromberg和Y. Minsky的合作成果。

Andrea Mondino:非光滑里奇曲率下界的一些平滑应用

紧化满足里奇曲率下界的黎曼流形空间的思想可以追溯到80年代的Gromov，并在90年代由Cheeger和Colding推动，他们研究了可能非光滑极限空间的精细结构。Lott-Villani和Sturm在大约十年前提出了一种通过最佳运输的全新方法。通过这种方法，我们可以给出一个精确的定义，对于一个非光滑空间，里奇曲率有界是什么意思。在过去的几年里，这种方法得到了改进，使理论有了新的见解，并产生了新的应用，即使是光滑黎曼流形。

亚黎曼测地线的过量和切线

我们给出了关于次黎曼长度最小化曲线规律性问题的一些最新结果。这是与a . Pigati和D. Vittone合作的作品。在引入水平曲线的过剩概念后，我们证明了在长度的任意点上，在某些尺度上，最小化曲线过剩是无穷小的。这意味着切线的存在。我们还讨论了与过量有关的其他结果。

大田信一:正里奇曲率下的光谱间隙和刚性

我们考虑正\(K\)时RCD\((K，\infty)\)-空间(满足黎曼曲率-维数条件的度量测度空间)上拉普拉斯子谱隙的刚性问题。Cheng-Zhou(2013)表明，对于一个加权黎曼流形，只有在1维高斯空间被分割时，才会获得清晰的光谱间隙。由于缺乏光滑结构和上维限的存在，将其推广到rcd空间并不简单。为了克服这些困难，我们将一个本征函数提升到Wasserstein空间，并使用Ambrosio-Trevisan最近发展的正则拉格朗日流。这是与N. Gigli (SISSA)、C. Ketterer (Freiburg)和K. Kuwada (Tohoku)合作的作品。

Mircea Petrache:一个n边际最优输运问题的Sharp大n渐近性

密度泛函理论是Hohenberg和Kohn引入的薛定谔方程的简化，以解决量子力学分子计算中的维数诅咒。这个最小化问题与对称最优输运问题密切相关，其中N个边代表N个电子的密度，并通过库仑幂律对相互作用相互作用。我将展示这个最优传输问题如何适合于一个更大的类，在这个类中可以获得最小化器的尖锐渐近。从这个讨论中自然产生了几个有趣的开放性问题。

Istvan Prause:冰冻边界的参数化

由二聚体模型产生的随机表面显示出极限形状形成。冻结面和无序的液体区域之间有明显的空间分隔。阿兹特克钻石的北极圈多米诺骨牌瓷砖就是一个著名的例子。我们利用肯扬-奥昆科夫理论和液体区域的固有复杂结构研究了这种冻结边界的几何形状和参数化。这种复杂结构用在冻结边界处退化的拟线性贝尔特拉米方程来描述。因此，该方程可用于检测边界及其性质。

会谈是基于与K. Astala, E. Duse和X. Zhong正在进行的合作。

Sévérine里格特:贝西科维奇覆盖性质的分级群和应用测量分化

在本讲座中，我们将给出具有贝西科维奇覆盖性(BCP)的具有齐次距离的分级群的一个表征。特别地，从这个描述中可以得出，一个分层群承认齐次距离，当且仅当它有第1步或第2步时BCP成立。我们将用在海森堡群上满足BCP的齐次距离的显式例子来说明这一结果。我们还将讨论测量微分的应用，微分是考虑这种覆盖性质的动机之一。

Andrea Schioppa:度量空间的微积分:超越Poincaré不等式

我们讨论了由J. Cheeger(1999)引入的一个框架，用来区分度量度量空间上定义的Lipschitz映射，该映射允许Poincaré不等式，并讨论了(第一个)例子，尽管无穷小的几何与Poincaré不等式不相容，但仍然有可能对其进行微分。

非局部障碍问题:解的规律性和自由边界

当某些潜在随机变量为Lévy类型(而不是高斯类型)时，在最优停车模型中会出现非局部障碍问题。
各向同性稳定Lévy分布的情况对应于具有分数拉普拉斯量的障碍问题。这个问题恰好与细障碍问题有内在的联系。
由于这种联系，分析后者问题的重要工具，如Almgre的单调性公式，在前者问题的背景下也可以使用。
这些工具对于先前证明分数阶拉普拉斯障碍问题解的最优正则性和自由边界的正则性是至关重要的。

在最近与L. Caffarelli和X. Ros-Oton合作的一项工作中，我们开发了一种基于极大值原理(绕过频率公式的使用)的替代方法，它允许我们处理更多的一般算子(即稳定Lévy过程的无穷小生成器，不一定是各向同性的)。这种更稳健的方法在经典障碍问题的背景下给出了新的结果，并打开了攻击相应的抛物线问题的大门，在应用中具有特殊的意义。

卡诺群中的极大方向导数和普适可微集

Rademacher定理断言Lipschitz函数从\(R^n\)到\(R^m\)几乎在任何地方都是可微的。这样的定理可能并不锐利:如果\(n>1\)，那么在\(R^n\)中存在一个勒贝格空集n，它包含一个可微点，对于每个Lipschitz映射\(f:R^n->R\)。这样的集合称为普遍可微集，它们的构造依赖于一个(几乎)最大方向导数的存在意味着可微这一事实。我们将看到方向导数的极大性意味着在所有卡诺群中可微，其中卡诺-卡拉道距离是适当可微的，其中包括所有步骤2卡诺群(特别是海森堡群)。进一步地，我们可以在任何第2步卡诺群中构造一个测度零普微性集。最后，我们将观察到，在恩格尔群中，一个步骤3的卡诺群，事情可能会变得很糟糕…基于与Andrea Pinamonti和Enrico Le Donne的合作。

q值调和函数奇异集的结构

在本次讨论中，我们给出了与Camillo de Lellis、Andrea Marchese和Emanuele Spadaro(见arXiv: 1612.01813)合作证明的q值调和函数奇异集的新正则性结果。

证明了q值Dirichlet最小调和函数的奇异集在q点集上具有均匀体积界m-2可整流。这一估计基于与Aaron Naber合作获得的reifenberg型定理(见arXiv:1504.02043)，该技术本质上非常通用，可用于解决GMT中许多不同的问题。

Jean Van Schaftingen:流形之间Sobolev映射的一致有界性原理

Banach空间间线性算子的经典Banach和Steinhaus一致有界原理是将依赖于定域内点的界转化为全局一致有界的一个定理。流形之间的索伯列夫空间的非线性特性使其不适用于这些空间。根据Sobolev映射的域结构，我们得到了Sobolev映射能量的一个相当普遍的一致有界原理，使我们能够恢复弱有界逼近、迹的延伸、提升和叠加问题的已知估计和反例。结果涵盖了分数阶和一阶Sobolev空间。